Nombor nyata

Sistem nombor matematik
Asas
$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ$ Nombor asli $\mathbb{N}$ Nombor negatif ${\mathbb{Z}}^{-}$ Integer $\mathbb{Z}$ Nombor nisbah $\mathbb{Q}$ Nombor bukan nisbah ${\mathbb{Q}}^{\prime }$ Nombor nyata $ℝ$ Nombor khayalan $𝕀$ Nombor kompleks $ℂ$ Nombor algebra $\bar{\mathbb{Q}}$ Nombor transenden $𝕋$
Perluasan kompleks
Nombor dwikompleks Nombor hiperkompleks Kuaternion $ℍ$ Kokuaternion Bikuaternion Oktonion $𝕆$ Sedenion $𝕊$ Tesarina Hipernombor Nombor supernyata Nombor hipernyata Nombor sureal
Lain-lain
Nombor kompleks belah ${ℝ}^{1,1}$ Nombor bersiri Nombor melampaui terhingga Nombor ordinal Nombor kardinal ${\mathrm{\aleph }}_n$ Nombor perdana $\mathbb{P}$ Nombor p-adik Nombor boleh bina Nombor boleh kira Jujukan integer Pemalar matematik $x$ Nombor besar Pi $\pi$ Nombor Euler $e$ Unit khayalan $i$ Ketakterhinggaan $\mathrm{\infty }$

Secara kasar, nombor nyata boleh ditakrifkan sebagai mana-mana nombor nisbah atau nombor bukan nisbah. Semua nombor nyata boleh diwakili dengan pengembangan perpuluhan tak terhingga.

$ℝ=\mathbb{Q}\cup {\mathbb{Q}}^{\prime }$ atau $ℝ=(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

Kebanyakan fungsi yang wujud biasanya ditakrifkan supaya domainnya hanya menerima nombor nyata.

Nombor nyata digunakan untuk mengukur perkara fizikal jarak, luas, isi padu, suhu serta membentuk asas untuk bidang kalkulus, termasuk had, pembezaan, dan kamiran.

Garis nombor, digunakan untuk mewakili nombor nyata.

.

Teori Set

Set Nombor Nyata

Set bagi semua nombor nyata ditulis sebagai $ℝ$. Terdapat wujud beberapa variasi $ℝ$ seperti ${ℝ}^{+}$ yang ditakrifkan sebagai semua nombor nyata positif dan ${ℝ}^{-}$ yang ditakrifkan sebagai semua nombor nyata negatif;

• ${ℝ}^{+}:=\{x\in ℝ|x>0\}$

• ${ℝ}^{-}:=\{x\in ℝ|x<0\}$

Juga terdapat ${ℝ}^n$ dimana $n$ ialah nombor asli. Ini mentakrifkan dimensi-$n$ bagi nombor nyata.

• ${ℝ}^n:=\{(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n)|a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n\in ℝ\}$

${ℝ}^1$ mewakili set bagi semua nombor nyata pada garis nobmor, ${ℝ}^2$ adalah set bagi semua pasangan nombor nyata pada satah-$xy$, ${ℝ}^3$ mewakili set bagi semua kembaran tiga nombor nyata pada satah-$xyz$ dan seterusnya.

Pengecualian untuk ini adalah ${ℝ}^0$, ia adalah singleton yang bersamaan dengan $\{\varnothing \}$.

Tatatanda Interval

Tatatanda interval adalah suata cara untuk menulis set bagi semua nombor nyata di antara nombor nyata $a$ dan $b$. Ia ditulis menggunakan kurungan seperti ini: $(a,b)$, $[a,b)$, $(a,b]$, $[a,b]$.

Kurungan '$)$' dan '$($' bermaksud nombor disebelahnya tidak termasuk ke dalam setnya manakala kurungan '$]$' dan kurungan '$[$' bermaksud nombor disebelahnya termasuk ke dalam setnya. Ini cara ia ditakrifkan:

• $(a,b):=\{x\in ℝ|a<x<b\}$
• $[a,b):=\{x\in ℝ|a\le x<b\}$
• $(a,b]:=\{x\in ℝ|a<x\le b\}$
• $[a,b]:=\{x\in ℝ|a\le x\le b\}$

Dimana $a$ dan $b$ juga adalah nombor nyata.

Jika $a$ sama dengan $-\mathrm{\infty }$ atau $b$ sama dengan $+\mathrm{\infty }$, wajib digunakan kurungan '$)$' dan '$($';

• $(-\mathrm{\infty },b)$
• $(-\mathrm{\infty },b]$
• $(a,+\mathrm{\infty })$
• $[a,+\mathrm{\infty })$
• $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

Kardinaliti Set Nombor Nyata

Kardinaliti bagi set nombor nyata iaitu $n(ℝ)$ dikenali sebagai kardinaliti kontinum dan ditulis dengan fraktur $𝔠$. Ia tak terkira dan tak terhingga.

.

Satah kompleks Cartes.

Nombor Khayalan

Templat:See Lawan bagi nombor nyata ialah nombor khayalan. Nombor nyata dan nombor khayalan bersama-sama membentuk nombor kompleks. Tatatanda set bagi semua nombor kompleks adalah $ℂ$.

Nombor nyata sentiasa berada pada paksi nyata manakala nombor khayalan berada pada paksi khayalan di dalam satah kompleks.