Teorem binomial

Dalam algebra permulaan, teorem binomial (atau pengembangan binomial) menerangkan pengembangan algebra bagi kuasa suatu binomial. Menurut teorem ini, adalah mungkin untuk mengembangkan polinomial Templat:Math kepada hasil tambah yang melibatkan sebutan bagi bentuk Templat:Math, di mana eksponen Templat:Mvar dan Templat:Mvar ialah integer bukan negatif dengan Templat:Math, dan pekali Templat:Mvar bagi setiap sebutan ialah integer positif tertentu yang bergantung pada Templat:Mvar dan Templat:Mvar. Contohnya, untuk Templat:Math, $(x + y)^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4}$

Pekali Templat:Mvar dalam sebutan Templat:Math dikenali sebagai pekali binomial $(\binom{n}{b})$ atau $(\binom{n}{c})$ (kedua-duanya mempunyai nilai yang sama). Pekali-pekali ini untuk Templat:Mvar dan Templat:Mvar yang berbeza boleh disusun bagi membentuk segi tiga Pascal. Nombor-nombor ini juga berlaku dalam kombinatorik, di mana $(\binom{n}{b})$ memberikan bilangan gabungan berbeza bagi unsur Templat:Mvar yang boleh dipilih daripada set unsur Templat:Mvar. Oleh itu, $(\binom{n}{b})$ sering kali disebut sebagai "Templat:Mvar memilih Templat:Mvar".

Pernyataan

Menurut teorem binomial, adalah mungkin untuk mengembangkan kuasa integer bukan negattif bagi Templat:Math kepada suatu hasli tambah bagi bentuk $(x + y)^{n} = (\binom{n}{0}) x^{n} y^{0} + (\binom{n}{1}) x^{n - 1} y^{1} + (\binom{n}{2}) x^{n - 2} y^{2} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) x^{1} y^{n - 1} + (\binom{n}{n}) x^{0} y^{n},$ di mana $n \geq 0$ merupakan suatu integer dan setiap $(\binom{n}{k})$ adalah suatu integer positif yang dikenali sebagai pekali binomial. (Apabila eksponen adalah sifar, ungkapan kuasa yang sepadan diambil sebagai 1 dan faktor pendaraban ini sering diabaikan daripada sebutan. Oleh itu seseorang sering melihat sisi sebelah kanan ditulis sebagai $(\binom{n}{0}) x^{n} + \dots$ .) Rumus ini juga dirujuk sebagai rumus binomial atau identiti binomial. Menggunakan tatatanda penghasiltambahan, ia boleh ditulis sebagai $(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{n - k} y^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k} .$ Ungkapan terakhir mengikuti dari yang sebelumnya dengan simetri bagi Templat:Mvar dan Templat:Mvar dalam ungkapan pertama, dan sebagai perbandingan, jujukan pekali binomial dalam rumus adalah simetri. Suatu varian ringkas rumus binomial diperoleh dengan menggantikan Templat:Math untuk Templat:Mvar supaya ia hanya melibatkan satu pemboleh ubah. Dalam bentuk ini, rumus itu dibaca $(1 + x)^{n} = (\binom{n}{0}) x^{0} + (\binom{n}{1}) x^{1} + (\binom{n}{2}) x^{2} + \dots + (\binom{n}{n - 1}) x^{n - 1} + (\binom{n}{n}) x^{n},$ atau secara setara $(1 + x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k},$ atau lebih tersurat^[1] $(1 + x)^{n} = 1 + n x + \frac{n (n - 1)}{2!} x^{2} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{3!} x^{3} + \dots + n x^{n - 1} + x^{n} .$

Rujukan

Templat:Reflist

Templat:Kawalan kewibawaan Templat:Portal bar

↑ Templat:Cite book

[1] Templat:Cite book

[1]

Teorem binomial

Pernyataan

Rujukan

Menu pandu arah

Cari