Pemalar Boltzmann

Templat:Infobox Pemalar Boltzmann (Templat:Jawi; Templat:Math atau Templat:Mvar) ialah faktor kekadaran yang mengaitkan purata tenaga haba relatif zarah dalam gas dengan suhu termodinamik gas. Ia berlaku dalam takrifan kelvin dan pemalar gas, dan dalam hukum Planck tentang sinaran jasad hitam dan formula entropi Boltzmann, dan digunakan dalam mengira hingar haba dalam perintang. Pemalar Boltzmann mempunyai dimensi tenaga dibahagikan dengan suhu, sama seperti entropi. Ia dinamakan sempena saintis Austria Ludwig Boltzmann.

Sebagai sebahagian daripada takrifan semula unit asas SI 2019, pemalar Boltzmann ialah salah satu daripada tujuh "pemalar penentu" yang telah diberikan takrifan yang tepat. Ia digunakan dalam pelbagai kombinasi untuk mentakrifkan tujuh unit asas SI. Pemalar Boltzmann ditakrifkan tepat Templat:Val.

Peranan pemalar Boltzmann

Secara makroskopik, hukum gas unggul menyatakan bahawa, untuk gas unggul, hasil darab tekanan Templat:Mvar dan isipadu Templat:Mvar adalah berkadar dengan hasil darab bahan Templat:Mvar dan suhu mutlak Templat:Mvar :$$pV=nRT,$$dengan Templat:Mvar ialah pemalar gas molar (Templat:Val). Memperkenalkan pemalar Boltzmann sebagai pemalar gas setiap molekul Templat:Math mengubah hukum gas unggul kepada bentuk alternatif:$$pV=NkT,$$dengan Templat:Mvar ialah bilangan molekul gas.

Peranan dalam kesetaraan tenaga

Dengan mempertimbangkan sistem termodinamik pada suhu mutlak Templat:Mvar, tenaga haba purata yang dibawa oleh setiap darjah kebebasan mikroskopik dalam sistem ialah Templat:Math (iaitu, kira-kira Templat:Val, atau 0.013 eV, pada suhu bilik). Ini secara amnya benar hanya untuk sistem klasik dengan sejumlah besar zarah, dan apabila kesan kuantum boleh diabaikan.

Dalam mekanik statistik klasik, purata ini diramalkan akan kekal tepat untuk gas unggul homogen. Gas unggul monoatom (enam gas adi) mempunyai tiga darjah kebebasan bagi setiap atom, sepadan dengan tiga arah spatial. Mengikut kesetaraan tenaga ini bermakna terdapat tenaga haba sebanyak Templat:Math per atom. Ini sepadan dengan data eksperimen. Tenaga haba boleh digunakan untuk mengira punca min kuasa dua bagi kelajuan atom, yang ternyata berkadar songsang dengan punca kuasa dua jisim atom. Punca min kuasa dua bagi kelajuan yang ditemui pada suhu bilik mencerminkan perkara ini dengan tepat, antara 1370 m/s untuk helium, hingga 240 m/s untuk xenon.

Teori kinetik memberikan tekanan purata Templat:Mvar untuk gas unggul sebagai$$p=\frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{v^2}.$$Gabungan dengan undang-undang gas unggul$$pV=NkT$$menunjukkan bahawa purata tenaga kinetik translasi ialah$$\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT.$$Memandangkan vektor halaju gerakan translasi Templat:Math mempunyai tiga darjah kebebasan (satu untuk setiap dimensi) memberikan tenaga purata setiap darjah kebebasan sama dengan satu pertiga daripadanya, iaitu Templat:Math.

Persamaan gas unggul juga dipatuhi dengan teliti oleh gas molekul; tetapi bentuk kapasiti haba adalah lebih rumit, kerana molekul mempunyai darjah kebebasan dalaman tambahan, serta tiga darjah kebebasan untuk pergerakan molekul secara keseluruhan. Gas dwiatom, sebagai contoh, mempunyai sejumlah enam darjah kebebasan ringkas setiap molekul yang berkaitan dengan gerakan atom (tiga translasi, dua putaran, dan satu getaran). Pada suhu yang lebih rendah, tidak semua darjah kebebasan ini boleh mengambil bahagian sepenuhnya dalam kapasiti haba gas, disebabkan oleh had mekanikal kuantum pada ketersediaan keadaan teruja pada tenaga haba yang berkaitan bagi setiap molekul.

Peranan dalam faktor Boltzmann

Secara umum, sistem dalam keseimbangan pada suhu Templat:Mvar mempunyai kebarangkalian Templat:Math untuk menduduki keadaan i dengan tenaga Templat:Mvar ditimbang oleh faktor Boltzmann yang sepadan :$$P_i\propto \frac{\exp (-\frac{E}{kT})}{Z},$$dan Templat:Mvar ialah fungsi pemetakan. Sekali lagi, kuantiti seperti tenaga Templat:Math yang mengambil kepentingan utama.

Akibat daripada ini termasuk (sebagai tambahan kepada keputusan untuk gas unggul di atas) persamaan Arrhenius dalam kinetik kimia.

Peranan dalam takrifan statistik entropi

Kubur Boltzmann di Zentralfriedhof, Vienna, dengan formula entropi.

Dalam mekanik statistik, entropi Templat:Mvar bagi sistem terpencil pada keseimbangan termodinamik ditakrifkan sebagai logaritma semula jadi Templat:Mvar, bilangan keadaan mikroskopik berbeza yang tersedia untuk sistem yang diberi kekangan makroskopik (seperti jumlah tenaga tetap Templat:Mvar):$$S=k\ln W.$$Persamaan ini, yang mengaitkan butiran mikroskopik, atau keadaan mikro, sistem (melalui Templat:Mvar) dengan keadaan makroskopiknya (melalui entropi Templat:Mvar), ialah gagasan utama mekanik statistik. Begitu penting, ia ditulis pada batu nisan Boltzmann.

Pemalar kekadaran Templat:Mvar berfungsi untuk menjadikan entropi mekanik statistik sama dengan entropi termodinamik klasik Clausius :$$\mathrm{\Delta }S=\int \frac{\mathrm{d}Q}{T}.$$Seseorang sebaliknya boleh memilih entropi tak berdimensi berskala semula dalam istilah mikroskopik sedemikian$$S^{\prime }=\ln W,\mathrm{\Delta }{S}^{\prime }=\int \frac{\mathrm{d}Q}{kT}.$$Inilah bentuk yang lebih semula jadi dan entropi berskala semula ini betul-betul sepadan dengan entropi maklumat Shannon berikutnya.

Oleh itu, tenaga ciri Templat:Mvar ialah tenaga yang diperlukan untuk meningkatkan entropi berskala semula sebanyak satu nat.

Voltan haba

Dalam semikonduktor, persamaan diod Shockley —hubungan antara aliran arus elektrik dan keupayaan elektrostatik merentasi persimpangan p–n —bergantung pada voltan ciri yang dipanggil voltan terma atau voltan haba, dilambangkan dengan Templat:Math. Voltan haba bergantung pada suhu mutlak Templat:Mvar sepertimana$$V_{\mathrm{T}}=\frac{kT}{q}=\frac{RT}{F},$$manakala Templat:Mvar ialah magnitud cas elektrik pada elektron dengan nilai 1.602176 634 × 10⁻¹⁹ C. Secara setara,$$\frac{V_{\mathrm{T}}}{T}=\frac{k}{q}\approx 8.617333262\times 10^{-5}\mathrm{V}/\mathrm{K}.$$Pada suhu bilik Templat:Convert, Templat:Math ialah lebih kurang Templat:Val yang boleh diperoleh dengan memasukkan nilai seperti berikut:$$V_{\mathrm{T}}=\frac{kT}{q}=\frac{1.38\times 10^{-23}\mathrm{J}\mathrm{\cdot }{\mathrm{K}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\times 300\mathrm{K}}{1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}}\simeq 25.85\mathrm{m}\mathrm{V}$$Pada suhu keadaan piawai Templat:Convert, ia lebih kurang Templat:Val mV. Voltan haba juga penting dalam plasma dan larutan elektrolit (cth persamaan Nernst); dalam kedua-dua kes tersebut, ia memberikan ukuran berapa banyak taburan ruang elektron atau ion dipengaruhi oleh sempadan yang dipegang pada voltan tetap.

Sejarah

Pemalar Boltzmann dinamakan sempena penemu Austria abad ke-19, Ludwig Boltzmann. Walaupun Boltzmann pertama kali mengaitkan entropi dan kebarangkalian pada tahun 1877, hubungan itu tidak pernah dinyatakan dengan pemalar tertentu sehingga Max Planck mula-mula memperkenalkan Templat:Mvar, dan memberikan nilai yang lebih tepat untuknya (Templat:Val, kira-kira 2.5% lebih rendah daripada angka hari ini), dalam terbitan hukum sinaran jasad hitam pada 1900–1901. Sebelum tahun 1900, persamaan yang melibatkan faktor Boltzmann tidak ditulis menggunakan tenaga bagi setiap molekul dan pemalar Boltzmann sebaliknya menggunakan bentuk pemalar gas, dan tenaga makroskopik untuk kuantiti makroskopik bahan tersebut. Bentuk ringkas ikonik persamaan Templat:Math pada batu nisan Boltzmann sebenarnya disebabkan oleh Planck, bukan Boltzmann. Planck sebenarnya memperkenalkannya dalam karya yang sama dengan eponimnya Templat:Mvar.

Pada tahun 1920, Planck menulis dalam syarahan Hadiah Nobelnya: Templat:Petikan "Keadaan pelik" ini digambarkan dengan merujuk kepada salah satu perbahasan saintifik yang hebat pada masa itu. Terdapat perselisihan yang besar pada separuh kedua abad kesembilan belas sama ada atom dan molekul adalah nyata atau sama ada ia hanya alat heuristik untuk menyelesaikan masalah. Tidak ada persetujuan sama ada molekul kimia, seperti yang diukur dengan berat atom, adalah sama dengan molekul fizikal, seperti yang diukur oleh teori kinetik. Kuliah Planck 1920 melanjutkan: Templat:Petikan Dalam versi SI sebelum takrifan semula unit asas SI 2019, pemalar Boltzmann ialah kuantiti yang diukur dan bukannya nilai tetap. Takrifan tepatnya juga berubah-ubah selama bertahun-tahun disebabkan takrifan semula kelvin (lihat Templat:Section link) dan unit asas SI lain (lihat Joule).

Pada tahun 2017, ukuran pemalar Boltzmann yang paling tepat diperolehi oleh termometri gas akustik, yang menentukan kelajuan bunyi gas monatom dalam ruang elipsoid triaksial menggunakan gelombang mikro dan resonans akustik. Usaha selama sedekad ini dilakukan dengan teknik yang berbeza oleh beberapa makmal; Templat:Efn ia merupakan salah satu asas kepada takrifan semula unit asas SI 2019. Berdasarkan ukuran ini, CODATA mengesyorkan Templat:Val ialah nilai tetap akhir pemalar Boltzmann yang akan digunakan untuk Sistem Unit Antarabangsa.

Nilai dalam unit yang berbeza

Nilai k	Unit	Ulasan
Templat:Val	J / K	SI mengikut takrifan, J/K = m 2 ⋅kg/(s 2 ⋅K) dalam unit asas SI
Templat:Val	eV /K	†
Templat:Val	Hz / K	(Templat:Math) †
Templat:Val	erg /K	Sistem CGS, 1 erg = Templat:Val
Templat:Val	cal /K	† 1 kalori = Templat:Val
Templat:Val	cal/ °R	†
Templat:Val	kaki<span typeof="mw:Entity" id="mwASk"> </span>lb /°R	†
Templat:Val	cm−1	(Templat:Math) †
Templat:Val	E h / K	(E h = hartree)
Templat:Val	kcal /(mol ⋅K)	(Templat:Math) †
Templat:Val	kJ/(mol⋅K)	(Templat:Math) †
Templat:Val	dB (W/K/Hz)	Templat:Math ,† digunakan untuk pengiraan hingar terma
Templat:Val	kg/K	Templat:Math, dengan c ialah kelajuan cahaya

†Nilai adalah tepat tetapi tidak boleh dinyatakan sebagai perpuluhan terhingga; dianggarkan kepada 9 tempat perpuluhan sahaja.

Memandangkan Templat:Mvar ialah faktor perkadaran antara suhu dan tenaga, nilai berangkanya bergantung pada pilihan unit untuk tenaga dan suhu. Nilai berangka kecil pemalar Boltzmann dalam unit SI bermaksud perubahan suhu sebanyak 1 K hanya mengubah tenaga zarah dengan jumlah yang kecil. Perubahan Templat:Val ditakrifkan sama dengan perubahan Templat:Val K. Tenaga ciri Templat:Mvar ialah istilah yang ditemui dalam banyak hubungan fizikal.

Pemalar Boltzmann menetapkan hubungan antara panjang gelombang dan suhu (membahagikan Templat:Mvar dengan panjang gelombang memberikan suhu) dengan satu mikrometer berkaitan dengan Templat:Val K, dan juga hubungan antara voltan dan suhu (Templat:Mvar dalam unit eV sepadan dengan voltan) dengan satu volt berkaitan dengan Templat:Val K. Nisbah kedua-dua suhu ini, Templat:Val K / Templat:Val K ≈ 1.239842, ialah nilai berangka Templat:Mvar dalam unit eV⋅μm.

Unit semula jadi

Pemalar Boltzmann menyediakan pemetaan daripada tenaga mikroskopik ciri E kepada skala suhu makroskopik Templat:Math. Dalam fizik asas, pemetaan ini sering dipermudahkan dengan menggunakan unit semula jadi untuk menetapkan Templat:Mvar kepada kesatuan. Konvensyen ini bermaksud bahawa suhu dan kuantiti tenaga mempunyai dimensi yang sama. Khususnya, unit SI kelvin menjadi berlebihan, ditakrifkan dari segi joule sebagai Templat:Math. Dengan konvensyen ini, suhu sentiasa diberikan dalam unit tenaga, dan pemalar Boltzmann tidak diperlukan secara eksplisit dalam formula.

Konvensyen ini memudahkan banyak hubungan fizikal dan rumus. Sebagai contoh, rumus kesetaraan untuk tenaga yang dikaitkan dengan setiap darjah kebebasan klasik ($\frac{1}{2}kT$ di atas) menjadi$$E_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{f}}=\frac{1}{2}T$$Sebagai contoh lain, takrifan entropi termodinamik bertepatan dengan bentuk entropi maklumat :$$S=-\sum _i{P}_i\ln P_i.$$dengan Templat:Math ialah kebarangkalian bagi setiap keadaan mikro.

Lihat juga

• Jawatankuasa Data Majlis Sains Antarabangsa
• Beta termodinamik
• Senarai saintis yang namanya digunakan dalam pemalar fizikal

Pautan luar

• Draf Bab 2 untuk Brosur SI, berikutan takrifan semula unit asas (disediakan oleh Jawatankuasa Perundingan untuk Unit)
• Langkah besar ke arah mentakrifkan semula kelvin: Para saintis mencari cara baharu untuk menentukan pemalar Boltzmann