Logaritma asli

Dalam bidang matematik, logaritma asli ialah logaritma asas $e$, di mana $e$ ialah pemalar bukan nisbah dengan anggaran nilai 2.718 281 828. Logaritma asli lazimnya ditulis $\ln (x)$, ${\log }_e(x)$ atau kadang-kadang, jika asas $e$ adalah implisit, sekadar $\log (x)$.

Logaritma asli bagi sebarang nombor $x$ (ditulis $\ln (x)$) ialah nombor kuasa bagi $e$ untuk memperoleh $x$. Sebagai contoh, $\ln (7.389...)$ sama dengan 2, kerana $e^2=7.389...$. Logaritma asli bagi $e$ itu sendiri ($\ln (e)$) ialah 1 kerana $e^1=e$, manakala logaritma asli bagi 1 ($\ln (1)$) ialah 0, kerana $e^0=1$.

Takrif

$\ln (x)$ ditakrifkan sebagai luas di bawah lengkung $f(x)=\frac{1}{x}$ dari 1 ke $x$.

Takrif logaritma asli secara formal ialah luas di bawah graf $\frac{1}{x}$ dari 1 ke $a$, iaitu kamiran,

$\ln (a)=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx.$

Ini adalah takrif logaritma kerana mematuhi sfat asas logaritma:

$\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$

Ini boleh ditunjukkan dengan mengandaikan $t=\frac{x}{a}$ seperti berikut:

$\ln (ab)=\underset{1}{\overset{ab}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{a}{\overset{ab}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{1}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{t}dt=\ln (a)+\ln (b)$

Nombor $e$ ditakrifkan sebagai suatu nombor nyata unik di mana $\ln (a)=1$.

Secara alternatif, jika fungsi eksponen telah ditakrifkan terlebih dahulu menggunakan siri tak terhingga, logaritma asli boleh ditakrifkan sebagai fungsi songsangnya, iaitu ln ialah fungsi di mana $e^{\ln (x)}=x$. Oleh kerana julat fungsi eksponen bagi argumen-argumen nyata ialah semua nombor nyata positif, dan fungsi eksponen meningkat secara khusus, yang demikian adalah tertakrif rapi bagi semua $x$ yang positif.

Sifat-sifat

Berikut ialah sifat-sifat logaritma asli:

• $\ln (1)=0$

• $\ln (-1)=i\pi$ (lihat logaritma kompleks)

• $\ln (x)<\ln (y)\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}0<x<y$

• $\frac{h}{1+h}\le \ln (1+h)\le h\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}h>-1$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1.$