Gelanggang (matematik)

Dalam bidang matematik, gelanggang ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada suatu set dilengkapi dengan dua operasi dedua (lazimnya dipanggil tambah dan darab) dan mematuhi syarat-syarat tertentu.

Takrif

Secara formal, gelanggang ialah suatu set $R$, dilengkapi dengan dua operasi dedua: tambah, $+:R\times R\to R$ dan darab, $\cdot :R\times R\to R$ (di mana $\times$ adalah tatatanda untuk hasil darab Descartes). Set bersama-sama dua operasi itu haruslah mematuhi aksiom-aksiom berikut:

• $(R,+)$ adalah kumpulan Abel terhadap penambahan:
  1. Tutupan terhadap penambahan - Bagi setiap $a$, $b$ dalam $R$, $a+b$ juga dalam $R$.
  2. Sekutuan dalam penambahan - Bagi setiap $a$, $b$, $c$ dalam $R$, $(a+b)+c=a+(b+c)$.
  3. Kewujudan identiti penambahan - Wujud unsur 0 dalam $R$, di mana bagi setiap unsur $a$ dalam $R$, $0+a=a+0=a$.
  4. Kewujudan songsangan penambahan - Bagi setiap $a$ dalam $R$, wujud unsur $b$ dalam $R$ di mana $a+b=b+a=0$.
  5. Kalis tukar tertib dalam penambahan - Bagi setiap $a$, $b$ dalam $R$, $a+b=b+a$.

• $(R,\cdot )$ adalah monoid terhadap pendaraban:
  1. Tutupan terhadap pendaraban - Bagi setiap $a$, $b$ in $R$, $a\cdot b$ juga dalam $R$.
  2. Sekutuan dalam pendaraban - Bagi setiap $a$, $b$, $c$ dalam $R$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
  3. Kewujudan identiti pendaraban - Wujud unsur 1 dalam $R$, di mana bagi setiap unsur $a$ dalam $R$, $1\cdot a=a\cdot 1=a$.

• Hukum-hukum kalis agihan:
  1. Bagi setiap $a$, $b$, $c$ dalam $R$, $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.
  2. Bagi setiap $a$, $b$, $c$ dalam $R$, $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$.