Set

Dalam matematik, set ialah konsep bagi sekumpulan benda. Kajian mendalam tentang set diteruskan lagi dalam bidang teori set.

Pembinaan

Set boleh dibentuk dengan tatatanda $\{...\}$. Sebagai contoh, berikut ialah set warna primer $W$:

$W=\{merah,hijau,biru\}$

Keahlian

Setiap objek yang terdapat dalam sesebuah set ialah ahli atau unsur bagi set itu. Sebagai contoh, $1$ ialah unsur bagi set $\{1,2,3,4\}$.

Hubungan keahlian boleh ditulis dengan lambang $\in$. Kenyataan

$x\in A$

bermaksud $x$ ialah unsur $A$. Penafian keahlian boleh ditulis dengan lambang $\notin$.

Set juga merupakan suatu objek matematik. Oleh itu, set boleh dijadikan unsur bagi set lain. Sebagai contoh, $\{\{1\}\}$ ialah sebuah set yang mengandungi satu unsur $\{1\}$, yang pula merupakan set dengan satu unsur $1$. Dalam kata lain, $1\in \{1\}\in \{\{1\}\}$.

Subset

Subset ialah set yang semua nilai kandungannya terdapat dalam set yang lain. Sebagai contoh, set $A=\{x,y,z\}$ ialah subset kepada $B=\{x,y,z,1,2,3\}$. Atau secara matematik, ia ditulis $A\subseteq B$. Sama juga, $B\supseteq A$, tetapi kali ini ia dibaca "$B$ ialah superset bagi $A$" berbanding sebelumnya, "$A$ ialah subset bagi $B$".

Secara formal, $A\subseteq B\leftrightarrow \mathrm{\forall }(x\in A\to x\in B)$, atau, dengan menggunakan set kuasa, $A\subseteq B\leftrightarrow A\in 𝒫(B)$.

Konsep subset boleh digunakan untuk menentukan kesamaan set. Suatu set A adalah sama dengan suatu set B jika set A ialah subset B dan B ialah subset A. Dalam simbol,

$A=B\leftrightarrow A\subseteq B\wedge B\subseteq A$

Operasi

Terdapat beberapa operasi yang boleh dikendalikan pada set.

Kesatuan bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur bagi A dan semua unsur bagi B. Secara formal,

$A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B)\}$

Persilangan bagi set A dan set B ialah set bagi semua unsur yang terdapat dalam kedua-dua A dan B. Secara formal,

$A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$

Pelengkap bagi set B dalam set A ialah set bagi semua unsur bagi A tetapi tidak mengandungi sebarang unsur bagi B. Secara formal,

$A\setminus B=\{x:x\in A\wedge x\notin B\}$

Hasil darab Descartes bagi set A dan set B ialah set bagi semua pasangan unsur bagi A dan unsur bagi B. Secara formal,

$A\times B=\{⟨x,y⟩:x\in A\wedge y\in B\}$

Kesatuan tak bercantum bagi set A dan set B ialah set gabungan semua unsur bagi A dan B, yang mengekalkan keahlian setiap unsur bagi set-set asal. Secara formal,

$A+B=(\{0\}\times A)\cup (\{1\}\times B)$

Set khas

Terdapat beberapa set khas yang sering digunakan dalam matematik. Kesemua set ini ditulis dengan cara 'tebal papan hitam':

$\mathbb{P}$

Set bagi semua nombor perdana.

$\mathbb{N}$

Set bagi semua nombor asli. Iaitu, $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,...\}$ atau $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$.

$\mathbb{Z}$

Set bagi semua integer. Iaitu, $\mathbb{Z}=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$.

$\mathbb{Q}$

Set bagi semua nombor nisbah. Iaitu, $\mathbb{Q}=\{a/b:a,b\in \mathbb{Z}\wedge b\ne 0\}$.

$ℝ$

Set bagi semua nombor nyata.

$ℂ$

Set bagi semua nombor kompleks.

Kesemua set di atas mempunyai bilangan unsur yang tidak terhingga. Namun begitu, saiz bagi mana-mana set khas ini boleh dibandingkan dengan ukuran kekardinalan. Nombor kardinal bagi set nombor asli, contohnya, ialah ${\mathrm{\aleph }}_0$ (alef-nol). Teori mengenai kekardinalan ini dikemukakan oleh Georg Cantor.

Lihat juga

• Glosari teori set

Pautan luar

• Keterangan di Wolfram Mathworld
• Keterangan di PlanetMath