Persamaan pembezaan tepat

Persamaan pembezaan tepat ialah sejenis persamaan pembezaan biasa yang digunakan secara meluas dalam bidang fizik dan kimia.

Definisi

Diberi suatu fungsi $\mathrm{\Psi }$ yang terdiri dari pembolehubah $x$ dan $y$, yang memegang nilai suatu pemalar $k$.

$\mathrm{\Psi }(x,y)=k$

Apabila persamaan itu dibezakan kedua belah kiri dan kanan, akan memperoleh

$d\mathrm{\Psi }=0$

Memandangkan fungsi $\mathrm{\Psi }$ mengandungi kedua-dua $x$ dan $y$, maka pembezaan separa boleh dilakukan terhadap pembolehubah masing-masing.

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}dx+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}dy=0$

Oleh itu, persamaan pembezaan tepat dapat ditulis semula secara am

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

iaitu

$M(x,y)=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}$

dan

$N(x,y)=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}$

Sekiranya fungsi-fungsi $M(x,y)$ dan $N(x,y)$ dibezakan separa terhadap pemboleh ubah yang berlainan, maka secara prinsip, ia akan memperoleh nilai yang sama. Nilai ini yang menjadi satu-satunya sifat untuk menentukan kewujudan persamaan pembezaan tepat.

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial xy}=\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial xy}$

$\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}\right)$

$\frac{\partial }{\partial y}(M(x,y))=\frac{\partial }{\partial y}(N(x,y))$