Masalah Erdős–Graham

Dalam teori nombor gabungan, masalah Erdős–Graham ialah masalah untuk membuktikan bahawa, jika set $\{2,3,4,\dots \}$ daripada integer yang lebih besar daripada satu dibahagikan kepada subset banyak terhingga, maka salah satu daripada subset boleh digunakan untuk membentuk perwakilan pecahan Mesir bagi perpaduan. Iaitu, untuk setiap $r>0$, dan setiap $r$ -pewarnaan integer lebih daripada satu, terdapat subset monokromatik terhingga $S$ daripada integer ini supaya

$\sum _{n\in S}\frac{1}{n}=1.$

Secara lebih terperinci, Paul Erdős dan Ronald Graham menjangkakan bahawa, untuk saiz yang cukup besar $r$, ahli terbesar $S$ boleh dibatasi oleh $b^r$ untuk beberapa tetap $b$ bebas daripada $r$. Telah diketahui bahawa, untuk ini benar, $b$ mestilah sekurang-kurangnya pemalar Euler $e$.Templat:R

Ernie Croot membuktikan sangkaan itu sebagai sebahagian daripada tesis Ph.D beliauTemplat:R dan kemudian (semasa penyelidik pasca kedoktoran di UC Berkeley) menerbitkan bukti dalam Annals of Mathematics.Templat:R Nilai yang diberikan oleh Croot $b$ ialah sangat besar: ia merupakan $e^{167000}$ paling banyak. Keputusan Croot berikut sebagai akibat daripada teorem yang lebih umum yang menyatakan kewujudan perwakilan pecahan Mesir bagi kesatuan untuk set $C$ nombor licin dalam selang bentuk $[X,X^{1+\delta }]$, di mana $C$ mengandungi nombor yang cukup banyak sehingga jumlah salingannya ialah sekurang-kurangnya enam. Konjektur Erdős–Graham mengikuti daripada keputusan ini dengan menunjukkan bahawa seseorang boleh mencari selang bentuk ini di mana jumlah kebalikan semua nombor licin ialah sekurang-kurangnya $6r$ ; oleh itu, jika integer ialah $r$ -berwarna mesti ada subset monokromatik $C$ memenuhi syarat teorem Croot.

Bentuk keputusan yang lebih kukuh, bahawa mana-mana set integer dengan ketumpatan atas positif termasuk penyebut bagi perwakilan pecahan Mesir bagi satu, telah diumumkan pada 2021 oleh Thomas Bloom, seorang penyelidik pasca doktoral di Universiti Oxford.Templat:R

Pautan luar

• Halaman Web Ernie Croot