Kumpulan (matematik)

Dalam matematik, kumpulan ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada sebuah set dan dilengkapi dengan operasi dedua yang menggabungkan dua unsur daripada set tadi untuk menghasilkan unsur ketiga. Struktur ini hendaklah mematuhi beberapa aksiom, iaitu tutupan, kalis sekutuan, identiti, dan songsangan. Kumpulan yang mematuhi aksiom tambahan kalis tukar tertib dinamakan kumpulan Abel.

Takrif

Kumpulan ditakrifkan oleh suatu pasangan $(G,*)$ yang terdiri daripada set $G$ dan operasi dedua *, dan mematuhi aksiom-aksiom berikut:

Tutupan

Untuk semua $a$, $b$ dalam $G$, $a*b$ juga dalam $G$.

Kalis sekutuan

Untuk semua $a$, $b$, $c$ dalam $G$, $(a*b)*c=a*(b*c)$.

Identiti

Wujud suatu unsur identiti $e$ dalam $G$, di mana untuk semua $a$ dalam $G$, $a*e=e*a=a$. Unsur identiti biasanya ditulis 1 atau $1_G$.

Songsangan

Untuk semua $a$ dalam $G$, wujud unsur songsang $b$ dalam $G$ di mana $a*b=b*a=1_G$.

Tertib penggunaan operasi dedua boleh menjadi signifikan. Dalam kata lain, hasil gabungan unsur $a$ dengan unsur $b$ tidak semestinya sama dengan hasil gabungan unsur $b$ dengan unsur $a$; iaitu persamaan

$a*b=b*a$

tidak selalunya benar. Sebarang kumpulan yang mana persamaan $a*b=b*a$ selalunya benar adalah kalis tukar tertib dan dipanggil kumpulan Abel.

Contoh-contoh

• Set integer $\mathbb{Z}$ dengan operasi tambah, ditulis $(\mathbb{Z},+)$ membentuk sebuah kumpulan.