Jujukan Fibonacci

Representasi geometrik jujukan Fibonacci

Dalam matematik, jujukan Fibonacci ialah jujukan nombor bermula dengan $0$ dan $1$, terma-$n$ ditandai dengan $F_n$ dan ia adalah hasil tambah bagi dua terma sebelumnya. Nombor yang terdapat dalam jujukan ini dikenali sebagai nombor Fibonacci.

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$, dimana $F_0=0$ dan $F_1=1$.

Ini adalah senarai terma pertama bagi jujukan Fibonacci:

$F_0$	$F_1$	$F_2$	$F_3$	$F_4$	$F_5$	$F_6$	$F_7$	$F_8$	$F_9$	$F_{10}$	$F_{11}$	$F_{12}$	$F_{13}$	$F_{14}$	$F_{15}$	$F_{16}$	$F_{17}$	$F_{18}$	$F_{19}$	$F_{20}$	$F_{21}$	$F_{22}$	$F_{23}$
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181	6765	10946	17711	28657

Kaitan kepada Nisbah Keemasan

Bermula dengan $F_0$, bahagikan $F_0$ dengan terma seterusnya, iaitu $F_1$. Sekarang, ambil $F_1$ dan bahagikan dengan terma seterusya iaitu - $F_2$. Ulangkan proses ini sampai bila-bila dan akhirnya tambahkan setiap hasil bahagi. Jumlah yang didapati adalah sekadar $1.618$ dan ia sebenarnya suatu pemalar yang dikenali sebagai nisbah keemasan. Ia ditandai dengan huruf $\varphi$ atau $\phi$.

$\varphi =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{F_n}{F_{n+1}}=\frac{0}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{5}{8}+\frac{8}{13}+\cdots \approx 1.61803398$

Yang menariknya adalah $\varphi$ juga adalah solusi bagi persamaan kuadratik $x^2=x+1$, $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Generalisasi Jujukan Fibonacci

Jujukan Tribonacci

Jujukan Tribonacci merupakan generalisasi jujukan Fibonacci dimana $F_n$ ditakrifkan sebagai hasil tambah bagi tiga terma sebelumnya. Ini adalah sebab namanya, "Tribonacci", kata imbuhan awalan tri- yang bermaksud "tiga" dengan nama Fibonacci. Nombor yang terdapat dalam jujukan Tribonacci dipanggil sebagai nombor Tribonacci.

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}+F_{n-3}$

Jujukan Tribonacci mempunyai terma permulaan yang tidak ditakrifkan dengan jelas. Tetapi kebiasaanya ia ditakrifkan sebagai;

$F_0=0$, $F_1=0$, $F_2=1$

Sejarah

¯\_(ツ)_/¯

Lihat Juga

• Jujukan
• Nisbah keemasan
• Integer
• Aritmetik