Hukum de l'Hôpital

Dalam kalkulus, hukum de l'Hôpital (juga dipanggil hukum Bernoulli) menggunakan terbitan untuk membantu mengira limit atau had yang berkaitan dengan sesuatu fungsi. Limit tersebut biasanya pada asalnya sukar untuk ditentukan, tetapi dengan pengaplikasian rumus ini, seseorang dapat mencari limit tersebut dengan lebih mudah. Hukum ini telah dinamakan atas nama ahli matematik Perancis pada kurun ke-17 masihi Guillaume de l'Hôpital, yang telah menerbitkan hukum tersebut dalam bukunya l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes pada tahun 1696 (buku teks pertama untuk pembezaan dalam kalkulus).

Namun, sesetengah orang percaya bahawa hukum tersebut telah dijumpai oleh ahli matematik Switzerland, Johann Bernoulli.

Hukum Asas

Katakan f(x) adalah satu fungsi yang boleh dibezakan dan f(x) = u(x)/v(x).

1. Jika :$\underset{x\to c}{\lim }u(x)=\underset{x\to c}{\lim }v(x)=0$ , maka

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}$

2. Jika :$\underset{x\to c}{\lim }u(x)=\underset{x\to c}{\lim }v(x)=\pm \mathrm{\infty }$ , maka

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}$

3. Jika :$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }u(x)=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }v(x)=0$ , maka

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}$

4. Jika :$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }u(x)=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }v(x)=\pm \mathrm{\infty }$ , maka

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u(x)}{v(x)}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}$

Contoh

Di bawah adalah salah satu contoh yang melibatkan fungsi sinus dan bentuk 0/0:

$\begin{array}{cc}\underset{x\to 0}{\lim }\mathrm{sinc}(x)& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \pi x}{\pi x}\\ & =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\sin y}{y}\\ & =\underset{y\to 0}{\lim }\frac{\cos y}{1}\\ & =1.\end{array}$

Berikut pula adalah contoh yang melibatkan ∞/∞:

$\begin{array}{cccc}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x& =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{1/x}& =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1/x}{-1/x^2}& =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }-x=0.\end{array}$

Lihat Juga

• Had dan keselanjaran (kalkulus)
• Pembezaan (kalkulus)

Pautan Luar

• Hukum l'Hôpital di Planetmath Templat:Webarchive
• Hukum l'Hôpital di Mathworld
• Lebih Pemahaman Tentang Hukum l'Hôpital