Hukum Gauss

Hukum Gauss dalam bentuk kamirannya amat berguna apabila, atas sebab simetri, permukaan tertutup (GS) boleh ditemui di sepanjang medan elektriknya seragam. Fluks elektrik kemudiannya merupakan hasil darab mudah bagi luas permukaan dan kekuatan medan elektrik, dan adalah berkadar dengan jumlah cas yang dikelilingi oleh permukaan. Di sini, medan elektrik di luar (r > R) dan di dalam (r < R) sfera bercas sedang dikira (lihat Wikiversity).

Dalam fizik (khususnya keelektromagnetan), Hukum Gauss (Templat:Jawi), juga dikenali sebagai teorem fluks Gauss (atau kadang kala teorem Gauss), ialah salah satu persamaan Maxwell. Ia aplikasi teorem kecapahan, dan ia mengaitkan pengagihan cas elektrik dengan medan elektrik yang terhasil.

Takrifan

Dalam bentuk kamirannya, hukum ini menyatakan bahawa fluks medan elektrik yang keluar dari sebarang permukaan tertutup adalah berkadar terus dengan caj elektrik yang dikelilingi oleh permukaan tersebut, tanpa mengira bagaimana caj tersebut diedarkan. Walaupun hukum ini sahaja tidak mencukupi untuk menentukan medan elektrik merentasi permukaan yang mengelilingi sebarang pengedaran caj, ini mungkin boleh dilakukan dalam kes-kes di mana simetri memaksa keseragaman medan. Di tempat yang tiada simetri seperti itu, hukum Gauss boleh digunakan dalam bentuk pembezaannya, yang menyatakan bahawa pencapahan medan elektrik berkadar dengan ketumpatan caj tempatan.

Hukum ini pertama kali dirumuskan oleh Joseph-Louis Lagrange pada tahun 1773, diikuti oleh Carl Friedrich Gauss pada tahun 1835, kedua-duanya dalam konteks tarikan elipsoid. Ia merupakan salah satu daripada persamaan Maxwell, yang membentuk asas bagi elektrodinamik klasik. Hukum Gauss boleh digunakan untuk menghasilkan hukum Coulomb, dan sebaliknya.

Penerangan kualitatif

Dalam bentuk kata-kata, hukum Gauss menyatakan bahawa:

Fluks elektrik bersih melalui mana-mana permukaan tertutup andaian adalah sama dengan Templat:Math kali caj elektrik bersih yang dilingkungi oleh permukaan tertutup tersebut. Permukaan tertutup ini juga dirujuk sebagai permukaan Gaussian.

Hukum Gauss mempunyai persamaan matematik yang rapat dengan beberapa hukum dalam bidang fizik lain, seperti hukum Gauss untuk kemagnetan dan hukum Gauss untuk graviti. Sebenarnya, mana-mana hukum kuasa dua songsang boleh dirumuskan dengan cara yang serupa dengan hukum Gauss: contohnya, hukum Gauss itu sendiri pada dasarnya adalah setara dengan hukum Coulomb, dan hukum Gauss untuk graviti pada dasarnya adalah setara dengan hukum graviti Newton, yang kedua-duanya adalah hukum kuasa dua songsang.

Hukum ini boleh dinyatakan secara matematik menggunakan kalkulus vektor dalam bentuk kamiran dan bentuk pembezaan; kedua-duanya adalah setara kerana ia berkaitan dengan teorem kecapahan, yang juga dikenali sebagai teorem Gauss. Setiap bentuk ini seterusnya juga boleh dinyatakan dengan dua cara: Dalam bentuk hubungan antara medan elektrik Templat:Math dan jumlah caj elektrik, atau dalam bentuk medan sesaran elektrik Templat:Math dan caj elektrik bebas.

Persamaan yang melibatkan medan Templat:Math

Hukum Gauss boleh dinyatakan menggunakan sama ada medan elektrik Templat:Math atau medan sesaran elektrik Templat:Math. Seksyen ini menunjukkan beberapa bentuk menggunakan Templat:Math; bentuk yang menggunakan Templat:Math disediakan di bawah, begitu juga dengan bentuk-bentuk lain yang menggunakan Templat:Math.

Bentuk kamiran

Fluks elektrik melalui permukaan sewenang-wenangnya adalah berkadar dengan jumlah cas yang disertakan oleh permukaan.

Tiada caj yang dilingkungi oleh sfera tersebut. Fluks elektrik melalui permukaannya adalah sifar.

Hukum Gauss boleh dinyatakan sebagai:

$${\mathrm{\Phi }}_E=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$$

iaitu Templat:Math ialah fluks elektrik melalui permukaan tertutup S yang melampirkan sebarang isipadu Templat:Mvar, Templat:Mvar ialah jumlah cas yang disertakan dalam Templat:Mvar, dan Templat:Math ialah pemalar elektrik. Fluks elektrik Templat:Math ditakrifkan sebagai kamiran permukaan medan elektrik:

Templat:Oiint

dengan Templat:Math ialah medan elektrik, Templat:Math ialah vektor yang mewakili unsur infinitesimal bagi luas permukaan,Templat:Refn dan Templat:Math mewakili hasil darab titik dua vektor.

Dalam ruang masa melengkung, fluks medan elektromagnet melalui permukaan tertutup dinyatakan sebagai

Templat:Oiint

iaitu $c$ ialah kelajuan cahaya; $F^{\kappa 0}$ menandakan komponen masa tensor elektromagnet; $g$ ialah penentu tensor metrik; $\mathrm{d}{S}_{\kappa }=\mathrm{d}{S}^{ij}=\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j$ ialah unsur ortonormal permukaan dua dimensi yang mengelilingi cas $Q$; indeks $i,j,\kappa =1,2,3$ dan tidak sepadan antara satu sama lain.

Memandangkan fluks ditakrifkan sebagai kamiran medan elektrik, ungkapan hukum Gauss ini dipanggil bentuk kamiran.

Kotak Gauss kecil yang sisinya berserenjang dengan permukaan konduktor digunakan untuk mencari cas permukaan tempatan sebaik sahaja potensi elektrik dan medan elektrik dikira dengan menyelesaikan persamaan Laplace. Medan elektrik adalah berserenjang, secara tempatan, dengan permukaan sama kuasa konduktor, dan sifar di dalamnya; fluksnya πa²·E, mengikut hukum Gauss sama dengan πa²·σ/ε₀ . Oleh itu, Templat:Nowrap .

Dalam masalah yang melibatkan konduktor yang ditetapkan pada potensi yang diketahui, potensi yang jauh daripadanya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Laplace, sama ada secara analitik atau berangka. Medan elektrik kemudiannya dikira sebagai kecerunan negatif potensi. Hukum Gauss memungkinkan untuk mencari taburan cas elektrik: Caj di mana-mana kawasan tertentu konduktor boleh disimpulkan dengan menyepadukan medan elektrik untuk mencari fluks melalui kotak kecil yang sisinya berserenjang dengan permukaan konduktor dan dengan menyatakan bahawa medan elektrik berserenjang dengan permukaan, dan sifar di dalam konduktor.

Masalah sebaliknya, apabila pengagihan cas elektrik diketahui dan medan elektrik mesti dikira, adalah lebih sukar. Jumlah fluks melalui permukaan tertentu memberikan sedikit maklumat tentang medan elektrik, dan boleh masuk dan keluar dari permukaan dalam corak rumit yang sebarang.

Pengecualian adalah jika terdapat beberapa simetri dalam masalah, yang memberi mandat bahawa medan elektrik melalui permukaan dengan cara yang seragam. Kemudian, jika jumlah fluks diketahui, medan itu sendiri boleh disimpulkan pada setiap titik. Contoh umum simetri yang sesuai dengan hukum Gauss termasuk: simetri silinder, simetri planar dan simetri sfera. Lihat artikel permukaan Gaussian untuk contoh di mana simetri ini dieksploitasi untuk mengira medan elektrik.

Bentuk pembezaan

Dengan teorem kecapahan, hukum Gauss boleh ditulis secara alternatif dalam bentuk pembezaan: $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$

di mana Templat:Math ialah kecapahan medan elektrik, Templat:Math ialah ketelusan vakum dan ρ ialah jumlah ketumpatan cas isipadu (cas per unit isipadu).

Persamaan bentuk kamiran dan pembezaan

Templat:Utama Bentuk kamiran dan pembezaan adalah setara secara matematik, dengan teorem kecapahan. Berikut adalah hujah yang lebih khusus.

Persamaan yang melibatkan medan Templat:Math

Cas bebas, terikat dan

Templat:Utama Cas elektrik yang timbul dalam situasi asas dalam buku teks biasanya akan dikelaskan sebagai "cas bebas" — contohnya, cas yang dipindahkan dalam elektrik statik, atau caj pada plat kapasitor. Sebaliknya, "cas terikat" hanya timbul dalam konteks bahan dielektrik (boleh dikutub). (Semua bahan boleh dikutub hingga tahap tertentu.) Apabila bahan seperti itu diletakkan dalam medan elektrik luaran, elektron kekal terikat pada atom masing-masing, tetapi bergerak sedikit dalam respons kepada medan tersebut, sehingga ia lebih terletak pada satu sisi atom berbanding sisi yang lain. Semua peralihan mikroskopik ini akan terkumpul untuk memberikan pengagihan cas bersih makroskopik, dan ini membentuk "cas terikat".

Walaupun secara mikroskopik semua cas adalah sama pada asasnya, terdapat alasan praktikal untuk menganggap cas terikat berbeza daripada cas bebas. Hasilnya, hukum Gauss yang lebih asas, dalam bentuk Templat:Math (di atas), kadang kala dipersembahkan dalam bentuk yang setara di bawah, yang berdasarkan Templat:Math dan cas bebas sahaja.

Bentuk kamiran

Perumusan hukum Gauss ini menyatakan jumlah bentuk cas:

$${\mathrm{\Phi }}_D=Q_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}}$$

iaitu Templat:Math ialah fluks [[Medan sesaran elektrik|medan Templat:Math]] melalui permukaan Templat:Mvar yang merangkumi isipadu Templat:Mvar, dan Templat:Math ialah cas percuma yang terkandung dalam Templat:Mvar. Fluks Templat:Math ditakrifkan secara analog dengan fluks Templat:Math medan elektrik Templat:Math melalui Templat:Mvar:

Templat:Oiint

Bentuk pembezaan

Bentuk pembezaan hukum Gauss, yang melibatkan caj percuma sahaja, menyatakan: $$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃={\rho }_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}}$$

di mana Templat:Math ialah kecapahan medan sesaran elektrik, dan Templat:Math ialah ketumpatan cas elektrik percuma.

Persamaan untuk bahan linear

Dalam bahan homogen, isotropik, tidak bersepah, linear, terdapat hubungan mudah antara Templat:Math dan Templat:Math:

$$𝐃=\epsilon 𝐄$$

di mana ε ialah ketelusan bahan. Untuk kes vakum (aka ruang bebas), Templat:Math. Di bawah keadaan ini, hukum Gauss mengubah suai kepada

$${\mathrm{\Phi }}_E=\frac{Q_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}}}{\epsilon }$$

untuk bentuk kamiran, dan

$$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{{\rho }_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}}}{\epsilon }$$

untuk bentuk pembezaan.

Kaitan dengan hukum Coulomb

Menerbitkan hukum Gauss daripada hukum Coulomb

Tegasnya, hukum Gauss tidak boleh diperoleh daripada hukum Coulomb sahaja, kerana hukum Coulomb memberikan medan elektrik disebabkan oleh individu, cas titik elektrostatik sahaja. Walau bagaimanapun, hukum Gauss boleh dibuktikan daripada hukum Coulomb jika diandaikan, sebagai tambahan, bahawa medan elektrik mematuhi prinsip superposisi. Prinsip superposisi menyatakan bahawa medan yang terhasil ialah jumlah vektor medan yang dijana oleh setiap zarah (atau kamiran, jika cas diedarkan dengan lancar dalam ruang).

Memandangkan hukum Coulomb hanya terpakai kepada cas pegun, tidak ada sebab untuk mengharapkan hukum Gauss untuk menahan cas bergerak berdasarkan terbitan ini sahaja. Malah, hukum Gauss memang berlaku untuk pertuduhan bergerak, dan, dalam hal ini, hukum Gauss adalah lebih umum daripada hukum Coulomb.

Menerbitkan hukum Coulomb daripada hukum Gauss

Tegasnya, hukum Coulomb tidak boleh diperoleh daripada hukum Gauss sahaja, kerana hukum Gauss tidak memberikan sebarang maklumat mengenai lengkung Templat:Math (lihat penguraian Helmholtz dan hukum Faraday). Walau bagaimanapun, hukum Coulomb boleh dibuktikan daripada hukum Gauss jika diandaikan, sebagai tambahan, bahawa medan elektrik dari cas titik adalah simetri sfera (andaian ini, seperti hukum Coulomb sendiri, adalah betul-betul benar jika cas itu pegun, dan lebih kurang benar jika cas sedang bergerak).

Lihat juga

• Kaedah cas imej
• Teorem keunikan bagi persamaan Poisson
• Senarai contoh hukum Stigler

Rujukan

• Templat:Cite book Digital version
• Templat:Cite book David J. Griffiths (6th ed.)

Pautan luar

• Templat:Commonscat-inline
• MIT Video Lecture Series (30 x 50 minute lectures)- Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.
• section on Gauss's law in an online textbook Templat:Webarchive
• MISN-0-132 Gauss's Law for Spherical Symmetry (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
• MISN-0-133 Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.