Atom helium

Atom helium ialah atom unsur kimia helium. Helium terdiri daripada dua elektron yang diikat oleh daya elektromagnet pada satu nukleus yang mengandungi dua proton dan satu atau dua neutron, bergantung kepada isotop, yang diikat oleh daya kuat. Tidak seperti hidrogen, penyelesaian bentuk tertutup persamaan Schrödinger untuk atom helium masih belum ditemui. Namun, pelbagai anggaran, seperti kaedah Hartree-Fock, boleh digunakan unutk menganggar tenaga keadaan asas dan fungsi gelombang atom itu.

Pengenalan

Hamiltonian helium, jika dianggap sebagai sistem tiga jasad yang terdiri daripada dua elektron dan satu nukleus dan pergerakan pusat jisim diasingkan, boleh ditulis sebagai

$H\psi ({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2)=\left[\sum _{i=1,2}\right(-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\underset{r_i}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}-\frac{Z{e}^2}{4\pi {ϵ}_0{r}_i})-\frac{{\hslash }^2}{M}{\mathrm{\nabla }}_{r_1}\cdot {\mathrm{\nabla }}_{r_2}+\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_0{r}_{12}}]\psi ({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2)$

di mana $\mu =\frac{mM}{m+M}$ ialah jisim tersusut satu elektron berhubung dengan nukleus, ${\overrightarrow{r}}_1$ dan ${\overrightarrow{r}}_2$ ialah vektor jarak elektron-nukleus dan $r_{12}=|\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2}|$. Cas nukleus, $Z$ ialah 2 untuk helium. Andaikan $M=\mathrm{\infty }$ supaya $\mu =m$ dan sebutan pengutuban jisim $\frac{{\hslash }^2}{M}{\mathrm{\nabla }}_{r_1}\cdot {\mathrm{\nabla }}_{r_2}$ hilang. Hamiltonian helium dalam unit atom (a.u.) untuk keringkasan ialah

$H\psi ({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2)=[-\frac{1}{2}\underset{r_1}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}-\frac{1}{2}\underset{r_2}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}-\frac{Z}{r_1}-\frac{Z}{r_2}+\frac{1}{r_{12}}]\psi ({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2).$

Kewujudan sebutan interaksi elektron-elektron 1/r₁₂ menjadikan persamaan ini tidak boleh dipisahkan. Maksudnya, ${\psi }_0({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2)$ tidak boleh ditulis sebagai hasil tunggal fungsi gelombang satu elektron. Ini bermaksud funsi gelombang ini terikat. Ukuran tidak boleh dibuat pada satu zarah sahaja tanpa memberi kesan kepada zarah yang lain. Ini diuruskan dalam anggaran-anggaran Hartree-Fock dan Thomas-Fermi.

Kaedah Hartree-Fock

Kaedah Hartree-Fock digunakan untuk pelbagai sistem atom. Namun ia hanyalah anggaran, dan pada hari ini terdapat kaedah-kaedah yang lebih tepat dan cekap untuk menyelesaikan sistem-sistem atom. "Masalah banyak jasad" bagi helium dan sistem berelektron sedikit yang lain boleh diselesaikan dengan ketepatan yang agak tinggi. Contohnya, keadaan asas bagi helium diketahui sehingga lima belas angka. Dalam teori Hartree-Fork, elektron-elektron dianggap bergerak dalam keupayaan yang dihasilkan oleh nukleus dan elektron-elektron lain. Hamiltonian bagi helium dengan 2 elektron boleh ditulis sebagai hasil tambah kedua-dua Hamiltonian bagi setiap elektron:

$H=\sum _{i=1}^{2}h(i)=H_0+H^{\prime }$

di mana Hamiltonian tertib sifar tidak terganggu ialah

$H_0=-\frac{1}{2}\underset{r_1}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}-\frac{1}{2}\underset{r_2}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}-\frac{Z}{r_1}-\frac{Z}{r_2}$

manakala sebutan gangguan:

$H^{\prime }=\frac{1}{r_{12}}$

ialah interaksi elektron-elektron. H₀ hanyalah hasil tambah dua Hamiltonian hidrogen:

$H_0={\hat{h}}_1+{\hat{h}}_2$

di mana

${\hat{h}}_i=-\frac{1}{2}\underset{r_i}{\overset{2}{\mathrm{\nabla }}}-\frac{Z}{r_i},i=1,2$

E_n1, nilai-nilai eigen tenaga dan ${\psi }_{n,l,m}({\overrightarrow{r}}_i)$, fungsi-fungsi eigen sepadan Hamiltonian hidrogen akan menandakan nilai-nilai eigen tenaga ternormal dan fungsi-fungsi eigen ternormal. Oleh itu:

${\hat{h}}_i{\psi }_{n,l,m}(\overrightarrow{r_i})=E_{n_1}{\psi }_{n,l,m}(\overrightarrow{r_i})$

di mana

$E_{n_1}=-\frac{1}{2}\frac{Z^2}{n_i^2}\text{ dalam a.u.}$

Dengan mengabaikan sebutan penolakan elektron-elektron, persamaan Schrödinger bagi bahagian ruang funsi gelombang dua fungsi akan menyusut ke persamaan 'tertib sifar'

$H_0{\psi }^{(0)}({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2)=E^{(0)}{\psi }^{(0)}({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2)$

Persamaan ini boleh dipisahkan dan fungsi-fungsi eigen boleh ditulis dalam bentuk hasil-hasil tunggal fungsi gelombang hidrogen:

${\psi }^{(0)}({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2)={\psi }_{n_1,l_1,m_1}({\overrightarrow{r}}_1){\psi }_{n_2,l_2,m_2}({\overrightarrow{r}}_2)$

Tenaga-tenaga sepadan (dalam a.u.) adalah:

$E_{n_1,n_2}^{(0)}=E_{n_1}+E_{n_2}=-\frac{Z^2}{2}[\frac{1}{n_1^2}+\frac{1}{n_2^2}]$

Perhatikan bahawa fungsi gelombang

${\psi }^{(0)}({\overrightarrow{r}}_2,{\overrightarrow{r}}_1)={\psi }_{n_2,l_2,m_2}({\overrightarrow{r}}_1){\psi }_{n_1,l_1,m_1}({\overrightarrow{r}}_2)$