Siri Taylor

Apabila darjah polinomial Taylor meningkat, ia menghampiri fungsi yang betul. Imej ini menunjukkan Templat:Math dan penghampiran Taylornya dengan polinomial darjah 1, 3, 5, 7, 9, 11, dan 13 pada Templat:Math .

Dalam matematik, siri Taylor atau pengembangan Taylor bagi suatu fungsi ialah jumlah sebutan tak terhingga yang dinyatakan dalam sebutan terbitan fungsi pada suatu titik. Untuk kebanyakan fungsi-fungsi biasa, fungsi dan jumlah siri Taylornya adalah sama berhampiran titik ini. Siri Taylor dinamakan sempena Brook Taylor, yang memperkenalkan teorem ini pada tahun 1715. Siri Taylor juga dipanggil siri Maclaurin apabila 0 ialah titik di mana terbitan dipertimbangkan, selepas Colin Maclaurin, yang menggunakan kes khas siri Taylor ini secara meluas pada abad ke-18.

Jumlah separa yang dibentuk oleh sebutan Templat:Math pertama bagi siri Taylor ialah polinomial darjah n yang dipanggil polinomial Taylor n bagi fungsi tersebut. Polinomial Taylor ialah penghampiran fungsi, yang secara umumnya menjadi lebih tepat apabila nilai n bertambah. Teorem Taylor memberikan anggaran kuantitatif mengenai ralat yang diperkenalkan oleh penggunaan anggaran tersebut. Jika siri Taylor bagi suatu fungsi adalah menumpu, hasil tambahnya ialah had bagi jujukan tak terhingga bagi polinomial Taylor. Sesebuah fungsi mungkin berbeza daripada jumlah siri Taylornya, walaupun siri Taylornya adalah menumpu. Suatu fungsi adalah analitik pada titik x jika ia sama dengan jumlah siri Taylornya dalam beberapa selang terbuka (atau cakera terbuka dalam satah kompleks) yang mengandungi x. Ini menunjukkan bahawa fungsi adalah analitik pada setiap titik selang (atau cakera).

Definisi

Siri Taylor bagi fungsi sebenar atau bernilai kompleks Templat:Math, yang boleh diterbitkan secara tak terhingga pada nombor nyata atau kompleks Templat:Math, ialah siri kuasa $$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n.$$Di sini, Templat:Math menandakan faktorial bagi n. Fungsi Templat:Math menandakan terbitan ke n bagi f yang dinilai pada titik a . Terbitan bagi tertib sifar bagi f ditakrifkan sebagai f itu sendiri dan Templat:Math dan Templat:Math kedua-duanya ditakrifkan sebagai 1. Siri ini boleh ditulis dengan menggunakan tatatanda sigma, seperti dalam formula sebelah kanan.Templat:Sfn Dengan Templat:Math, siri Maclaurin mengambil bentuk:Templat:Sfn $$f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{‴}(0)}{3!}{x}^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n.$$

Contoh

Siri Taylor bagi sebarang polinomial ialah polinomial itu sendiri.

Siri Maclaurin daripada

$$1+x+x^2+x^3+\cdots .$$

Jadi, dengan menggantikan x untuk Templat:Math, siri Taylor bagi Templat:Math pada Templat:Math ialah:

$$1-(x-1)+(x-1{)}^2-(x-1{)}^3+\cdots .$$

Dengan mengamirkan siri Maclaurin di atas, kita akan mendapati siri Maclaurin Templat:Math, di mana Templat:Math menandakan logaritma asli:

$$-x-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4-\cdots .$$

Siri Taylor yang sepadan bagi fungsi Templat:Math pada Templat:Math ialah:

$$(x-1)-\frac{1}{2}(x-1{)}^2+\frac{1}{3}(x-1{)}^3-\frac{1}{4}(x-1{)}^4+\cdots ,$$

dan lebih umumnya, siri Taylor yang sepadan bagi fungsi Templat:Math pada titik bukan sifar arbitrari Templat:Math ialah:

$$\ln a+\frac{1}{a}(x-a)-\frac{1}{a^2}\frac{{(x-a)}^2}{2}+\cdots .$$

Siri Maclaurin bagi fungsi eksponen Templat:Math ialah

$$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}& =\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots \\ & =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\cdots .\end{array}$$

Peluasan di atas berlaku kerana terbitan Templat:Math berkenaan dengan x juga adalah Templat:Math, dan Templat:Math bersamaan dengan 1. Ini meninggalkan sebutan Templat:Math dalam pengangka dan Templat:Math dalam penyebut setiap sebutan dalam jumlah tak terhingga.

Lihat juga

• Pengembangan asimptotik
• Polinomial Newton
• Anggaran padé – anggaran terbaik oleh fungsi rasional
• Templat:Pautan beranotasi
• Teori penghampiran
• Penghampiran fungsi

 

Pautan luar

•  
• Weisstein, Eric W. "Taylor Series". MathWorld.