Lihat sumber bagi Hukum Gauss

{{Short description|Hukum asas elektromagnetisme yang menghubungkan medan elektrik dengan pengedaran cas}}
{{about|Hukum Gauss berkaitan dengan medan elektrik|Hukum-hukum yang serupa berkaitan dengan medan yang berbeza|Hukum Gauss untuk kemagnetan|dan|Hukum Gauss untuk graviti|Teorem Ostrogradsky–Gauss, sebuah teorem matematik yang relevan untuk semua hukum ini|Teorem kecapahan}}
{{Bezakan|Hukum Gause}}
[[Fail:Maxwell_integral_Gauss_sphere.svg|thumb| Hukum Gauss dalam bentuk kamirannya amat berguna apabila, atas sebab simetri, permukaan tertutup (GS) boleh ditemui di sepanjang medan elektriknya seragam. Fluks elektrik kemudiannya merupakan hasil darab mudah bagi luas permukaan dan kekuatan medan elektrik, dan adalah berkadar dengan jumlah cas yang dikelilingi oleh permukaan. Di sini, medan elektrik di luar (''r'' > ''R'') dan di dalam (''r'' < ''R'') sfera bercas sedang dikira (lihat [[wikiversity:MyOpenMath/Solutions/Maxwell's integral equations|Wikiversity]]).]]
Dalam [[fizik]] (khususnya [[keelektromagnetan]]), '''Hukum Gauss''' ({{Jawi|حكوم ڬاوس}}), juga dikenali sebagai '''teorem fluks Gauss''' (atau kadang kala teorem Gauss), ialah salah satu [[persamaan Maxwell]]. Ia aplikasi [[teorem kecapahan]], dan ia mengaitkan pengagihan [[cas elektrik]] dengan [[medan elektrik]] yang terhasil.

== Takrifan ==
Dalam [[Kamiran|bentuk kamirannya]], hukum ini menyatakan bahawa [[fluks]] medan elektrik yang keluar dari sebarang [[Permukaan (topologi)|permukaan tertutup]] adalah berkadar terus dengan caj elektrik yang dikelilingi oleh permukaan tersebut, tanpa mengira bagaimana caj tersebut diedarkan. Walaupun hukum ini sahaja tidak mencukupi untuk menentukan medan elektrik merentasi permukaan yang mengelilingi sebarang pengedaran caj, ini mungkin boleh dilakukan dalam kes-kes di mana simetri memaksa keseragaman medan. Di tempat yang tiada simetri seperti itu, hukum Gauss boleh digunakan dalam [[Bentuk pembezaan|bentuk pembezaannya]], yang menyatakan bahawa pencapahan medan elektrik berkadar dengan ketumpatan caj tempatan.

Hukum ini pertama kali dirumuskan<ref>{{Cite book|title=Leçons sur l'électricité et le magnétisme|last=Duhem|first=Pierre|date=1891|publisher=Paris Gauthier-Villars|volume=1|pages=22–23|language=fr|trans-title=Lessons on electricity and magnetism|chapter=4|oclc=1048238688|ol=23310906M|author-link=Pierre Duhem|chapter-url=https://archive.org/stream/leonssurllec01duheuoft#page/22/mode/2up|ol-access=free}} Shows that Lagrange has priority over Gauss. Others after Gauss discovered "Gauss's Law", too.</ref> oleh [[Joseph-Louis Lagrange]] pada tahun 1773,<ref>{{Cite journal|last=Lagrange|first=Joseph-Louis|author-link=Joseph-Louis Lagrange|date=1869|editor-last=Serret|editor-first=Joseph-Alfred|editor-link=Joseph-Alfred Serret|editor2-last=Darboux|editor2-first=Jean-Gaston|editor2-link=Jean-Gaston Darboux|title=Sur l'attraction des sphéroïdes elliptiques|trans-title=On the attraction of elliptical spheroids|url=https://books.google.com/books?id=4XkAAAAAMAAJ&pg=PA619|journal=Œuvres de Lagrange: Mémoires extraits des recueils de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin|language=fr|publisher=Gauthier-Villars|pages=619}}</ref> diikuti oleh [[Carl Friedrich Gauss]] pada tahun 1835,<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=0TxeAAAAcAAJ&pg=PA3|title=Carl Friedrich Gauss Werke|last=Gauss|first=Carl Friedrich|date=1877|publisher=Gedruckt in der Dieterichschen Universitätsdruckerei (W.F. Kaestner)|editor-last=Schering|editor-first=Ernst Christian Julius|editor-link=Ernst Christian Julius Schering|edition=2nd|volume=5|pages=2–22|language=la, de|trans-title=Works of Carl Friedrich Gauss|chapter=Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata|trans-chapter=The theory of the attraction of homogeneous spheroidal elliptic bodies treated by a new method|author-link=Carl Friedrich Gauss|editor-last2=Brendel|editor-first2=Martin|editor-link2=Martin Brendel}} Gauss mentions [[Isaac Newton|Newton]]'s ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica|Principia]]'' [https://archive.org/stream/newtonspmathema00newtrich#page/n243/mode/2up proposition XCI] regarding finding the force exerted by a sphere on a point anywhere along an axis passing through the sphere.</ref> kedua-duanya dalam konteks tarikan elipsoid. Ia merupakan salah satu daripada persamaan Maxwell, yang membentuk asas bagi [[Keelektromagnetan klasik|elektrodinamik klasik]]. Hukum Gauss boleh digunakan untuk menghasilkan [[hukum Coulomb]],<ref>{{Cite book|title=Fundamentals of Physics|last=Halliday|first=David|last2=Resnick|first2=Robert|publisher=John Wiley & Sons|year=1970|pages=452–453}}</ref> dan sebaliknya.

== Penerangan kualitatif ==
Dalam bentuk kata-kata, hukum Gauss menyatakan bahawa:

: [[Fluks elektrik]] bersih melalui mana-mana [[Permukaan (topologi)|permukaan tertutup]] andaian adalah sama dengan {{Math|1/''ε''<sub>0</sub>}} kali caj elektrik bersih yang dilingkungi oleh permukaan tertutup tersebut. Permukaan tertutup ini juga dirujuk sebagai permukaan Gaussian.<ref>{{Cite book|title=Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics|last=Serway|first=Raymond A.|year=1996|edition=4th|page=687}}</ref>

Hukum Gauss mempunyai persamaan matematik yang rapat dengan beberapa hukum dalam bidang fizik lain, seperti [[hukum Gauss untuk kemagnetan]] dan [[hukum Gauss untuk graviti]]. Sebenarnya, mana-mana hukum kuasa dua songsang boleh dirumuskan dengan cara yang serupa dengan hukum Gauss: contohnya, hukum Gauss itu sendiri pada dasarnya adalah setara dengan [[hukum Coulomb]], dan hukum Gauss untuk graviti pada dasarnya adalah setara dengan [[Hukum kegravitian semesta Newton|hukum graviti Newton]], yang kedua-duanya adalah [[hukum kuasa dua songsang]].

Hukum ini boleh dinyatakan secara matematik menggunakan [[kalkulus vektor]] dalam bentuk [[kamiran]] dan bentuk [[Kalkulus pembezaan|pembezaan]]; kedua-duanya adalah setara kerana ia berkaitan dengan [[teorem kecapahan]], yang juga dikenali sebagai teorem Gauss. Setiap bentuk ini seterusnya juga boleh dinyatakan dengan dua cara: Dalam bentuk hubungan antara [[medan elektrik]] {{Math|'''E'''}} dan jumlah caj elektrik, atau dalam bentuk [[medan sesaran elektrik]] {{Math|'''D'''}} dan [[Caj bebas|caj elektrik bebas]].<ref name="GrantPhillips">{{Cite book|title=Electromagnetism|last=Grant|first=I. S.|last2=Phillips|first2=W. R.|publisher=John Wiley & Sons|year=2008|isbn=978-0-471-92712-9|edition=2nd|series=Manchester Physics}}</ref>

== Persamaan yang melibatkan medan {{Math|E}} ==
Hukum Gauss boleh dinyatakan menggunakan sama ada medan elektrik {{Math|'''E'''}} atau medan sesaran elektrik {{Math|'''D'''}}. Seksyen ini menunjukkan beberapa bentuk menggunakan {{Math|'''E'''}}; bentuk yang menggunakan {{Math|'''D'''}} disediakan di bawah, begitu juga dengan bentuk-bentuk lain yang menggunakan {{Math|'''E'''}}.

=== Bentuk kamiran ===
[[Fail:Electric-flux-surface-example.svg|thumb| Fluks elektrik melalui permukaan sewenang-wenangnya adalah berkadar dengan jumlah cas yang disertakan oleh permukaan.]]
[[Fail:Electric-flux-no-charge-inside.svg|thumb| Tiada caj yang dilingkungi oleh sfera tersebut. Fluks elektrik melalui permukaannya adalah sifar.]]
Hukum Gauss boleh dinyatakan sebagai: <ref name="GrantPhillips">{{Cite book|title=Electromagnetism|last=Grant|first=I. S.|last2=Phillips|first2=W. R.|publisher=John Wiley & Sons|year=2008|isbn=978-0-471-92712-9|edition=2nd|series=Manchester Physics}}<cite class="citation book cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFGrantPhillips2008">Grant, I. S.; Phillips, W. R. (2008). ''Electromagnetism''. Manchester Physics (2nd&nbsp;ed.). John Wiley & Sons. [[Nombor Buku Piawai Antarabangsa|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/978-0-471-92712-9|<bdi>978-0-471-92712-9</bdi>]].</cite></ref>

<math display="block">\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>

iaitu {{Math|Φ<sub>''E''</sub>}} ialah [[fluks elektrik]] melalui permukaan tertutup S yang melampirkan sebarang isipadu ''{{mvar|V}}'', ''{{mvar|Q}}'' ialah jumlah cas yang disertakan dalam ''{{mvar|V}}'', dan {{Math|''ε''<sub>0</sub>}} ialah [[Ketelusan vakum|pemalar elektrik]]. Fluks elektrik {{Math|Φ<sub>''E''</sub>}} ditakrifkan sebagai [[kamiran permukaan]] medan elektrik:

:{{oiint|preintegral=<math>\Phi_E = </math>|intsubscpt=<math>\scriptstyle _S</math>|integrand=<math>\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}</math>}}

dengan {{Math|'''E'''}} ialah medan elektrik, {{Math|d'''A'''}} ialah vektor yang mewakili unsur infinitesimal bagi [[luas]] permukaan,{{Refn|Secara lebih khusus, luas tak terhingga dianggap sebagai [[Satah (matematik)|satah]] dan dengan luas {{math|d''N''}}. Vektor {{math|d'''R'''}} ialah [[Normal (geometri)|normal]] kepada elemen kawasan ini dan mempunyai [[magnitud (vektor)|magnitud]] {{math|d''A''}}.<ref>{{cite book|last=Matthews|first=Paul|title=Vector Calculus|publisher=Springer|year=1998|isbn=3-540-76180-2}}</ref>|group=note}} dan {{Math|·}} mewakili [[Hasil darab bintik|hasil darab titik]] dua vektor.

Dalam ruang masa melengkung, fluks medan elektromagnet melalui permukaan tertutup dinyatakan sebagai

:{{oiint|preintegral=<math>\Phi_E = c </math> |intsubscpt=<math> \scriptstyle _S</math>|integrand=<math> F^{\kappa 0} \sqrt {-g} \, \mathrm{d} S_\kappa </math>}}

iaitu <math>c</math> ialah [[kelajuan cahaya]]; <math>F^{\kappa 0}</math> menandakan komponen masa [[tensor elektromagnet]]; <math>g</math> ialah penentu [[tensor metrik]]; <math> \mathrm{d} S_\kappa = \mathrm{d} S^{ij} = \mathrm{d}x^i \mathrm{d}x^j </math> ialah unsur ortonormal permukaan dua dimensi yang mengelilingi cas <math>Q</math>; indeks <math> i,j,\kappa = 1,2,3</math> dan tidak sepadan antara satu sama lain. <ref>{{Cite journal|last=Fedosin|first=Sergey G.|year=2019|title=On the Covariant Representation of Integral Equations of the Electromagnetic Field|url=https://rdcu.be/ccV9o|journal=Progress in Electromagnetics Research C|volume=96|pages=109–122|arxiv=1911.11138|bibcode=2019arXiv191111138F|doi=10.2528/PIERC19062902}}</ref>

Memandangkan fluks ditakrifkan sebagai ''kamiran'' medan elektrik, ungkapan hukum Gauss ini dipanggil ''bentuk kamiran''.
[[Fail:Gauss's_law_-_surface_charge_-_boundary_condition_on_D.svg|thumb| Kotak Gauss kecil yang sisinya berserenjang dengan permukaan konduktor digunakan untuk mencari cas permukaan tempatan sebaik sahaja potensi elektrik dan medan elektrik dikira dengan menyelesaikan persamaan Laplace. Medan elektrik adalah berserenjang, secara tempatan, dengan permukaan sama kuasa konduktor, dan sifar di dalamnya; fluksnya ''πa''<sup>2</sup>·''E'', mengikut hukum Gauss sama dengan ''πa''<sup>2</sup>·''σ''/''ε''<sub>0</sub> . Oleh itu, {{nowrap|1=''σ'' = ''ε''<sub>0</sub>''E''}} .]]
Dalam masalah yang melibatkan konduktor yang ditetapkan pada potensi yang diketahui, potensi yang jauh daripadanya diperoleh dengan menyelesaikan [[persamaan Laplace]], sama ada secara analitik atau berangka. Medan elektrik kemudiannya dikira sebagai kecerunan negatif potensi. Hukum Gauss memungkinkan untuk mencari taburan cas elektrik: Caj di mana-mana kawasan tertentu konduktor boleh disimpulkan dengan menyepadukan medan elektrik untuk mencari fluks melalui kotak kecil yang sisinya berserenjang dengan permukaan konduktor dan dengan menyatakan bahawa medan elektrik berserenjang dengan permukaan, dan sifar di dalam konduktor.

Masalah sebaliknya, apabila pengagihan cas elektrik diketahui dan medan elektrik mesti dikira, adalah lebih sukar. Jumlah fluks melalui permukaan tertentu memberikan sedikit maklumat tentang medan elektrik, dan boleh masuk dan keluar dari permukaan dalam corak rumit yang sebarang.

Pengecualian adalah jika terdapat beberapa [[simetri]] dalam masalah, yang memberi mandat bahawa medan elektrik melalui permukaan dengan cara yang seragam. Kemudian, jika jumlah fluks diketahui, medan itu sendiri boleh disimpulkan pada setiap titik. Contoh umum simetri yang sesuai dengan hukum Gauss termasuk: simetri silinder, simetri planar dan simetri sfera. Lihat artikel [[Permukaan Gauss|permukaan Gaussian]] untuk contoh di mana simetri ini dieksploitasi untuk mengira medan elektrik.

=== Bentuk pembezaan ===
Dengan [[teorem kecapahan]], hukum Gauss boleh ditulis secara alternatif dalam ''bentuk pembezaan'': <math display="block">\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>

di mana {{Math|∇ · '''E'''}} ialah [[kecapahan]] medan elektrik, {{Math|''ε''<sub>0</sub>}} ialah [[ketelusan vakum]] dan ''ρ'' ialah jumlah [[ketumpatan cas]] isipadu (cas per unit isipadu).

=== Persamaan bentuk kamiran dan pembezaan ===
{{Utama|Teorem kecapahan}}
Bentuk kamiran dan pembezaan adalah setara secara matematik, dengan teorem kecapahan. Berikut adalah hujah yang lebih khusus.

{{math proof|title=Rangka pembuktian
|proof=Bentuk kamiran hukum Gauss ialah:
:{{oiint|intsubscpt=<math>{\scriptstyle _S}</math>|integrand=<math>\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}</math>}}<math> = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>
untuk sebarang permukaan tertutup {{mvar|S}} yang mengandungi cas {{mvar|Q}}. Dengan teorem kecapahan, persamaan ini bersamaan dengan:

<math display="block">\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{E} \, \mathrm{d}V = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>

untuk sebarang isi padu {{mvar|V}} yang mengandungi cas {{mvar|Q}}. Dengan hubungan antara cas dan ketumpatan cas, persamaan ini bersamaan dengan:
<math display="block">\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{E} \, \mathrm{d}V = \iiint_V \frac{\rho}{\varepsilon_0} \, \mathrm{d}V</math>
untuk sebarang isi padu {{mvar|V}}. Agar persamaan ini menjadi ''secara serentak'' untuk ''setiap'' isi padu yang mungkin {{mvar|V}}, adalah perlu (dan mencukupi) untuk yang dikamir adalah sama di mana-mana. Oleh itu, persamaan ini bersamaan dengan:

<math display="block">\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.</math>
Oleh itu, bentuk kamiran dan pembezaan adalah setara.
}}

== Persamaan yang melibatkan medan {{Math|D}} ==
{{see also|Persamaan Maxwell}}

=== Cas bebas, terikat dan ===
{{Utama|Pengutuban elektrik}}
Cas elektrik yang timbul dalam situasi asas dalam buku teks biasanya akan dikelaskan sebagai "cas bebas" — contohnya, cas yang dipindahkan dalam [[elektrik statik]], atau caj pada plat [[Pemuat|kapasitor]]. Sebaliknya, "cas terikat" hanya timbul dalam konteks bahan [[dielektrik]] (boleh dikutub). (Semua bahan boleh dikutub hingga tahap tertentu.) Apabila bahan seperti itu diletakkan dalam medan elektrik luaran, elektron kekal terikat pada atom masing-masing, tetapi bergerak sedikit dalam respons kepada medan tersebut, sehingga ia lebih terletak pada satu sisi atom berbanding sisi yang lain. Semua peralihan mikroskopik ini akan terkumpul untuk memberikan pengagihan cas bersih makroskopik, dan ini membentuk "cas terikat".

Walaupun secara mikroskopik semua cas adalah sama pada asasnya, terdapat alasan praktikal untuk menganggap cas terikat berbeza daripada cas bebas. Hasilnya, hukum Gauss yang lebih asas, dalam bentuk {{Math|'''E'''}} (di atas), kadang kala dipersembahkan dalam bentuk yang setara di bawah, yang berdasarkan {{Math|'''D'''}} dan cas bebas sahaja.

=== Bentuk kamiran ===
Perumusan hukum Gauss ini menyatakan jumlah bentuk cas:

<math display="block">\Phi_D = Q_\mathrm{bebas}</math>

iaitu {{Math|Φ<sub>''D''</sub>}} ialah fluks [[Medan sesaran elektrik|medan {{Math|'''D'''}}]] melalui permukaan ''{{mvar|S}}'' yang merangkumi isipadu ''{{mvar|V}}'', dan {{Math|''Q''<sub>bebas</sub>}} ialah cas percuma yang terkandung dalam ''{{mvar|V}}''. Fluks {{Math|Φ<sub>''D''</sub>}} ditakrifkan secara analog dengan fluks {{Math|Φ<sub>''E''</sub>}} medan elektrik {{Math|'''E'''}} melalui ''{{mvar|S}}'':

: {{Oiint|preintegral=<math>\Phi_D = </math>|intsubscpt=<math>{\scriptstyle _S}</math>|integrand=<math>\mathbf{D} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} </math>}}

=== Bentuk pembezaan ===
Bentuk pembezaan hukum Gauss, yang melibatkan caj percuma sahaja, menyatakan: <math display="block">\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_\mathrm{bebas}</math>

di mana {{Math|∇ · '''D'''}} ialah [[kecapahan]] medan sesaran elektrik, dan {{Math|''ρ''<sub>bebas</sub>}} ialah ketumpatan cas elektrik percuma.

== Kesetaraan penyata cas keseluruhan dan bebas ==
{{math proof|title=Bukti bahawa rumusan hukum Gauss dari segi cas bebas adalah bersamaan dengan rumusan yang melibatkan jumlah cas.
|proof=
Dalam bukti ini, kami akan menunjukkan bahawa persamaan
<math display="block">\nabla\cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
adalah bersamaan dengan persamaan
<math display="block">\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho_\mathrm{bebas}</math>
Perhatikan bahawa kita hanya berurusan dengan bentuk pembezaan, bukan bentuk kamiran, tetapi itu sudah memadai kerana bentuk pembezaan dan kamiran adalah setara dalam setiap kes, dengan teorem kecapahan.

Kami memperkenalkan [[ketumpatan pengutuban]] {{math|'''P'''}}, yang mempunyai hubungan berikut dengan {{math|'''E'''}} dan {{math|'''D'''}}:
<math display="block">\mathbf{D}=\varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}</math>
dan perkaitan berikut dengan cas terikat:
<math display="block">\rho_\mathrm{terikat} = -\nabla\cdot \mathbf{P}</math>
Sekarang, pertimbangkan tiga persamaan:
<math display="block">\begin{align}
\rho_\mathrm{terikat} &= \nabla\cdot (-\mathbf{P}) \\
\rho_\mathrm{bebas} &= \nabla\cdot \mathbf{D} \\
\rho &= \nabla \cdot(\varepsilon_0\mathbf{E})
\end{align}</math>
Wawasan utama ialah jumlah dua persamaan pertama ialah persamaan ketiga. Ini melengkapkan bukti: Persamaan pertama adalah benar mengikut takrifan, dan oleh itu persamaan kedua adalah benar [[jika dan hanya jika]] persamaan ketiga adalah benar. Jadi persamaan kedua dan ketiga adalah setara, itulah yang kami ingin buktikan.
}}

== Persamaan untuk bahan linear ==
Dalam bahan [[Kehomogenan dan keheterogenan|homogen]], [[Isotropi|isotropik]], [[Serakan (optik)|tidak bersepah]], linear, terdapat hubungan mudah antara {{Math|'''E'''}} dan&nbsp;{{Math|'''D'''}}:

<math display="block">\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E} </math>

di mana ε ialah [[ketelusan]] bahan. Untuk kes [[Hampagas|vakum]] (aka [[Hampagas|ruang bebas]]), {{Math|1=''ε'' = ''ε''<sub>0</sub>}}. Di bawah keadaan ini, hukum Gauss mengubah suai kepada

<math display="block">\Phi_E = \frac{Q_\mathrm{bebas}}{\varepsilon}</math>

untuk bentuk kamiran, dan

<math display="block">\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_\mathrm{bebas}}{\varepsilon}</math>

untuk bentuk pembezaan.

== Kaitan dengan hukum Coulomb ==

=== Menerbitkan hukum Gauss daripada hukum Coulomb ===
Tegasnya, hukum Gauss tidak boleh diperoleh daripada hukum Coulomb sahaja, kerana hukum Coulomb memberikan medan elektrik disebabkan oleh individu, [[cas titik]] [[Cas elektrik|elektrostatik]] sahaja. Walau bagaimanapun, hukum Gauss ''boleh'' dibuktikan daripada hukum Coulomb jika diandaikan, sebagai tambahan, bahawa medan elektrik mematuhi [[prinsip superposisi]]. Prinsip superposisi menyatakan bahawa medan yang terhasil ialah jumlah vektor medan yang dijana oleh setiap zarah (atau kamiran, jika cas diedarkan dengan lancar dalam ruang).

{{math proof|title=Rangka pembuktian
|proof=
Hukum Coulomb menyatakan bahawa medan elektrik yang disebabkan oleh pegun [[cas titik]] adalah:
<math display="block">\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\mathbf{e}_r}{r^2}</math>
where
*{{math|'''e'''<sub>''r''</sub>}} ialah [[vektor unit]] jejarian,
*{{mvar|r}} ialah jejari, {{math|{{abs|'''r'''}}}},
*{{math|''ε''<sub>0</sub>}} ialah [[pemalar elektrik]],
*{{mvar|q}} ialah cas zarah, yang diandaikan terletak di [[asalan (matematik)|asalan]].

Menggunakan ungkapan daripada hukum Coulomb, kita mendapat jumlah medan di {{math|'''r'''}} dengan menggunakan kamiran untuk menjumlahkan medan di {{math|'''r'''}} disebabkan oleh cas infinitesimal pada satu sama lain {{math|'''s'''}} dalam satu ruang, untuk memberi
<math display="block">\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{s})(\mathbf{r}-\mathbf{s})}{|\mathbf{r}-\mathbf{s}|^3} \, \mathrm{d}^3 \mathbf{s}</math>
iaitu {{mvar|ρ}} ialah ketumpatan cas. Jika kita mengambil perbezaan kedua-dua belah persamaan ini berkenaan dengan '''r''', dan gunakan teorem yang diketahui<ref>See, for example, {{cite book | last=Griffiths | first=David J. | title=Introduction to Electrodynamics | edition=4th | publisher=Prentice Hall | year=2013 | page=50 }} or {{cite book | last=Jackson | first=John David | title=Classical Electrodynamics | edition=3rd | publisher=John Wiley & Sons | year=1999 | page=35}}</ref>

<math display="block">\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\right) = 4\pi \delta(\mathbf{r})</math>
iaitu {{math|''δ''('''r''')}} ialah [[fungsi delta Dirac]], hasilnya ialah
<math display="block">\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \rho(\mathbf{s})\, \delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})\, \mathrm{d}^3 \mathbf{s}</math>

Menggunakan "[[Fungsi delta Dirac#Terjemahan|sifat menapis]]" fungsi delta Dirac, kami tiba di
<math display="block">\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0},</math>
yang merupakan bentuk pembezaan hukum Gauss, seperti yang dikehendaki.
}}

Memandangkan hukum Coulomb hanya terpakai kepada cas pegun, tidak ada sebab untuk mengharapkan hukum Gauss untuk menahan cas bergerak berdasarkan terbitan ini sahaja. Malah, hukum Gauss memang berlaku untuk pertuduhan bergerak, dan, dalam hal ini, hukum Gauss adalah lebih umum daripada hukum Coulomb.

{{math proof|title=Bukti (tanpa Delta Dirac)
|proof=
Jadikan <math>\Omega \subseteq R^3 </math> menjadi set terbuka terhad, dan  <math display="block">\mathbf E_0(\mathbf r) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\Omega} \rho(\mathbf r')\frac {\mathbf r - \mathbf r'} {\left \| \mathbf r - \mathbf r' \right \|^3} \mathrm{d}\mathbf{r}'
\equiv \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\Omega} e(\mathbf{r, \mathbf{r}'}){\mathrm{d}\mathbf{r}'}</math> menjadi medan elektrik, dengan <math>\rho(\mathbf r')</math> fungsi berterusan (ketumpatan cas).

Ia adalah benar untuk semua <math>\mathbf{r} \neq \mathbf{r'}</math> maka <math>\nabla_\mathbf{r}  \cdot \mathbf{e}(\mathbf{r, r'}) = 0</math>.

Pertimbangkan sekarang set padat <math>V \subseteq R^3</math> mempunyai [[Permukaan licin|sempadan licin]] [[cebis demi cebis]] <math>\partial V</math> supaya <math>\Omega  \cap V = \emptyset</math>. Ia mengikuti <math>e(\mathbf{r, \mathbf{r}'}) \in C^1(V \times \Omega)</math> dan sebagainya, untuk teorem pencapahan:

<math display="block">\oint_{\partial V} \mathbf{E}_0 \cdot d\mathbf{S} = \int_V \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}_0 \, dV</math>

But because <math>e(\mathbf{r, \mathbf{r}'}) \in C^1(V \times \Omega)</math>,

<math display="block">\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}_0(\mathbf{r}) = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\Omega} \nabla_\mathbf{r} \cdot e(\mathbf{r, \mathbf{r}'}){\mathrm{d}\mathbf{r}'} = 0 </math>  untuk hujah di atas (<math>\Omega  \cap V = \emptyset \implies \forall \mathbf{r} \in V \ \  \forall \mathbf{r'} \in \Omega \ \ \  \mathbf{r} \neq \mathbf{r'}  </math> dan then <math>\nabla_\mathbf{r}  \cdot \mathbf{e}(\mathbf{r, r'}) = 0</math>)

Oleh itu fluks melalui permukaan tertutup yang dihasilkan oleh beberapa ketumpatan cas di luar (permukaan) adalah batal.

Sekarang pertimbangkan <math>\mathbf{r}_0 \in \Omega</math>, dan <math>B_R(\mathbf{r}_0)\subseteq \Omega</math>  sebagai sfera berpusat di <math>\mathbf{r}_0</math> mempunyai <math>R</math> sebagai jejari (ia wujud kerana <math>\Omega</math> adalah set terbuka).

Biarkan <math>\mathbf{E}_{B_R}</math> dan <math>\mathbf{E}_C</math> menjadi medan elektrik yang dicipta di dalam dan di luar sfera masing-masing. Kemudian,

:<math>\mathbf{E}_{B_R} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{B_R(\mathbf{r}_0)} e(\mathbf{r, \mathbf{r}'}){\mathrm{d}\mathbf{r}'}</math>,    <math>\mathbf{E}_C = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\Omega \setminus B_R(\mathbf{r}_0)} e(\mathbf{r, \mathbf{r}'}){\mathrm{d}\mathbf{r}'}</math> dan <math>\mathbf{E}_{B_R} + \mathbf{E}_C = \mathbf{E}_0 </math>

<math display="block">\Phi(R) =
\oint_{\partial B_R(\mathbf{r}_0)} \mathbf{E}_0 \cdot d\mathbf{S} =
\oint_{\partial B_R(\mathbf{r}_0)} \mathbf{E}_{B_R} \cdot d\mathbf{S} +
\oint_{\partial B_R(\mathbf{r}_0)} \mathbf{E}_C \cdot d\mathbf{S} =
\oint_{\partial B_R(\mathbf{r}_0)} \mathbf{E}_{B_R} \cdot d\mathbf{S} </math>

Persamaan terakhir diikuti dengan memerhatikan <math>(\Omega \setminus B_R(\mathbf{r}_0)) \cap B_R(\mathbf{r}_0) = \emptyset</math>, dan hujah di atas.

Sebelah kanan ialah fluks elektrik yang dihasilkan oleh sfera bercas, dan sebagainya:

<math display="block">\Phi(R) =\frac {Q(R)}{\varepsilon_0}  = \frac {1}{\varepsilon_0} \int_{B_R(\mathbf{r}_0)} \rho(\mathbf r'){\mathrm{d}\mathbf{r}'} =
\frac {1}{\varepsilon_0} \rho(\mathbf r'_c)|B_R(\mathbf{r}_0)| </math> with <math> r'_c \in \ B_R(\mathbf{r}_0)</math>

Iaitu kesamaan terakhir diikuti dengan teorem nilai min untuk kamiran. Menggunakan [[teorem himpitan]] dan kesinambungan <math> \rho  </math>, maka kini:

<math display="block">\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}_0(\mathbf{r}_0) =
\lim_{R \to 0} \frac{1}{|B_R(\mathbf{r}_0)|}\Phi(R) = 
\frac {1}{\varepsilon_0} \rho(\mathbf r_0)  </math>
}}

=== Menerbitkan hukum Coulomb daripada hukum Gauss ===
Tegasnya, hukum Coulomb tidak boleh diperoleh daripada hukum Gauss sahaja, kerana hukum Gauss tidak memberikan sebarang maklumat mengenai [[Ikal (matematik)|lengkung]] {{Math|'''E'''}} (lihat [[penguraian Helmholtz]] dan [[Hukum aruhan Faraday|hukum Faraday]]). Walau bagaimanapun, hukum Coulomb ''boleh'' dibuktikan daripada hukum Gauss jika diandaikan, sebagai tambahan, bahawa medan elektrik dari cas titik adalah simetri sfera (andaian ini, seperti hukum Coulomb sendiri, adalah betul-betul benar jika cas itu pegun, dan lebih kurang benar jika cas sedang bergerak).

{{math proof|title=Rangka pembuktian
|proof=
Mengambil {{mvar|S}} dalam bentuk kamiran hukum Gauss menjadi permukaan sfera jejari {{mvar|r}}, berpusat pada cas titik {{mvar|Q}}, kita ada

<math display="block">\oint_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0} </math>

Dengan andaian simetri sfera, kamiran dan ialah pemalar yang boleh dikeluarkan daripada kamiran. Hasilnya ialah
<math display="block">4\pi r^2\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{\varepsilon_0}</math>
iaitu {{math|'''r̂'''}} ialah [[vektor unit]] menghala secara jejari dari cas. Sekali lagi dengan simetri sfera, {{math|'''E'''}} titik dalam arah jejari, dan jadi kita dapat
<math display="block">\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}</math>
yang pada asasnya bersamaan dengan hukum Coulomb. Oleh itu, pergantungan [[hukum kuasa dua songsang]] medan elektrik dalam hukum Coulomb mengikuti hukum Gauss.
}}

== Lihat juga ==

* [[Kaedah cas imej]]
* [[Teorem keunikan bagi persamaan Poisson]]
* [[Senarai contoh hukum Stigler]]
{{Kosongkan}}

== Catatan ==
{{Reflist|group=note}}

== Petikan ==
{{Senarai rujukan|30em}}

== Rujukan ==

* {{Cite book|title=Werke Band 5|last=Gauss|first=Carl Friedrich|date=1867}} [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN236006339 Digital version]
* {{Cite book|title=Classical Electrodynamics|last=Jackson|first=John David|date=1998|publisher=Wiley|isbn=0-471-30932-X|edition=3rd|location=New York}} David J. Griffiths (6th ed.)

== Pautan luar ==

* {{Commonscat-inline}}
* [https://web.archive.org/web/20080628181946/http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/8-02Electricity-and-MagnetismSpring2002/VideoAndCaptions/ MIT Video Lecture Series (30 x 50 minute lectures)- Electricity and Magnetism] Taught by Professor Walter Lewin.
* [http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch10/ch10.html#Section10.6 section on Gauss's law in an online textbook] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100527194640/http://www.lightandmatter.com/html_books/0sn/ch10/ch10.html#Section10.6|date=2010-05-27}}
* [http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m132.pdf <small>MISN-0-132</small> ''Gauss's Law for Spherical Symmetry''] ([[Format Dokumen Mudah Alih|PDF file]]) by Peter Signell for [http://www.physnet.org Project PHYSNET].
* [http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m133.pdf <small>MISN-0-133</small> ''Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions''] (PDF file) by Peter Signell for [http://www.physnet.org Project PHYSNET].
{{Carl Friedrich Gauss}}
[[Kategori:Elektromagnetisme]]
[[Kategori:Elektrostatik]]
[[Kategori:Persamaan Maxwell]]
[[Kategori:Kalkulus vektor]]
[[Kategori:Hukum fizik eponim]]
[[Kategori:Carl Friedrich Gauss]]
[[Kategori:Laman-laman dengan terjemahan-terjemahan yang belum disemak]]