Gandaan (matematik)

Dalam sains, gandaan ialah hasil darab sebarang kuantiti dan integer. Dalam erti kata lain, bagi kuantiti $a$ dan $b$, boleh dikatakan bahawa $b$ ialah gandaan bagi $a$ jika $b=na$ bagi dimana integer $n$, yang dipanggil pengganda. Jika $a\ne 0$, ini bersamaan dengan mengatakan itu $\frac{b}{a}$ ialah integer.

Dalam matematik, apabila $a$ dan $b$ ialah kedua-dua integer, dan $b$ ialah gandaan $a$, maka $a$ dipanggil sebagai pembahagi $b$. Seseorang juga mengatakan bahawa $a$ membahagi $b$. Jika $a$ dan $b$ bukan integer, ahli matematik lebih suka menggunakan gandaan integer dan bukannya "gandaan" demi kejelasan.

Malah, gandaan boleh juga digunakan untuk jenis hasil darab lain; contohnya, polinomial $p$ ialah gandaan bagi polinomial $q$ yang lain, jika wujud polinomial ketiga $r$ supaya $p=qr$.

Tatatanda

Jika $a$ adalah gandaan bagi $b$, ia boleh ditulis sebagai $b|a$. Ini merupakan suatu pernyataan logik sama ada benar atau palsu. Jika $a$ bukan gandaan bagi $b$, maka $b\mid ̸a$.

Contoh

Sebagai contoh, $14$, $49$, $-21$ dan $0$ ialah gandaan bagi $7$, manakala $3$ dan $-5$ bukan. Ini kerana terdapat integer yang $7$ boleh didarabkan untuk mencapai nilai $14$, $49$, $-21$ dan $0$, manakala tiada integer wujud sedemikian untuk $3$ dan $-5$;

• $7|14\because (7\times 2=14)$
• $7|49\because (7\times 7=49)$
• $7|-21\because (7\times -3=-21)$
• $7|0\because (7\times 0=0)$

• $7\mid ̸3\because (7\times \frac{3}{7}=3)$, $\frac{3}{7}\in ̸\mathbb{Z}$ .
• $7\mid ̸-5\because (7\times -\frac{5}{7}=-5)$, $-\frac{5}{7}\in ̸\mathbb{Z}$

Gandaan Sepunya Terkecil

Templat:See $n$ adalah Gandaan Sepunya Terkecil bagi nombor $a$ dan $b$ bermaksud terdapat suatu integer $k_1$ dan $k_2$ dimana $n=a{k}_1=b{k}_2$.

Fungsi $\mathrm{G}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{K}(a,b)$ adalah sebuah fungsi yang mengeluarkan output Gandaan Sepunya Terkecil bagi nombor $a$ dan $b$. Fungsi ini boleh diperekstensikan untuk mengambil Gandaan Sepunya Terkecil sampai terma-$t$;

$\mathrm{G}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{K}(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_t)$, $t\in \mathbb{Z}$

Fungsi $\mathrm{G}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{K}(a,b)$ juga mempunyai berkaitan dengan Faktor Sepunya Terbesar;

• $\mathrm{G}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{K}(a,b)=\frac{ab}{\mathrm{F}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{B}(a,b)}$
• $\mathrm{G}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{K}(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_t)=\frac{\prod _{i=1}^t(a_i)}{\mathrm{F}\mathrm{S}\mathrm{T}\mathrm{B}(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_t)}$

Hukum Asas

• $0$ ialah gandaan bagi setiap integer $n$. $0|n$
• Hasil darab mana-mana integer $n$ dan sebarang integer ialah gandaan daripada $n$. Secara khusus, $n$ yang sama dengan $n\times 1$, ialah gandaan daripada $n$ (setiap integer ialah gandaan dirinya), kerana 1 ialah integer.
• Jika $a$ dan $b$ ialah gandaan daripada $x,$ kemudian $a+b$ dan $a-b$ adalah juga gandaan daripada $x$.