Lingkaran keemasan

Gambarajah lingkaran keemasan.
Jika sebuah segi empat tepat itu berukuran selebar 1, maka segi empat seterusnya berukuran 1/φ, 1/φ², 1/φ³ dan seterusnya.

Dalam geometri, lingkaran keemasan ialah suatu lingkaran logaritma di mana faktor pembesarannya ialah [[Phi|Templat:Math]], nisbah keemasan. Yakni, lingkaran keemasan menjadi semakin besar atau jauh dari titik mulanya oleh suatu faktor Templat:Math untuk setiap belokan suku yang dibuatnya. Sebuah lingkaran sebegini mempunyai persamaan berkutub berikut:

$r={\phi }^{\theta \frac{2}{\pi }}$

Persamaan berkutub untuk sebuah lingkaran keemasan ialah sama sepertimana lingkaran logaritma yang lain, tetapi dengan nilai khas faktor pembesaran Templat:Math:

$r=a{e}^{b\theta }$

atau

$\theta =\frac{1}{b}\ln (r/a),$

dengan [[e (mathematical constant)|Templat:Math]] sebagai asas logaritma semulajadi, Templat:Math sebagai radius mula lingkaran, dan Templat:Math apabila Templat:Math bersudut tegak (pusingan suku pada mana-mana arah):

$e^{b{\theta }_{\mathrm{s}\mathrm{.}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{k}}}=\phi$

Maka, Templat:Math diberikan melalui persamaan berikut:

$b=\frac{\ln \phi }{{\theta }_{\mathrm{s}\mathrm{.}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{k}}}.$

Nilai nombor Templat:Math bergantung sama ada sudut tegak diukur dalam unit darjah (yakni, 90°) atau dalam unit $\frac{\pi }{2}$ radian; memandangkan sudut sasaran boleh diukur menggunakan mana-mana unit ini, rumusan untuk nilai mutlak $b$ lebih mudah ditulis (di mana Templat:Math juga boleh bernilai negatif):

$|b|=\frac{\ln \phi }{90}\doteq 0.0053468$ untuk Templat:Math dalam unit darjah;

$|b|=\frac{\ln \phi }{\pi /2}\doteq 0.3063489$ untuk Templat:Math dalam unit radians Templat:OEIS2C.

Suatu formula alternatif untuk kedua-dua lingkaran juga diberikan:

$r=a{c}^{\theta }$

di mana pemalar Templat:Math diberikan daripada:

$c=e^b$

di mana lingkaran keemasan memberi nilai Templat:Math sebagai:

$c={\phi }^{\frac{1}{90}}\doteq 1.0053611$

jika Templat:Math diukur dalam unit darjah, dan

$c={\phi }^{\frac{2}{\pi }}\doteq 1.358456.$ OEIS A212225.

jika Templat:Math diukur dalam unit radians.

Lihat juga

• Nisbah keemasan
• Nombor Fibonacci