Sfera

Sfera

Sfera (dari bahasa Portugis esfera) merupakan objek bulat geometri yang sempurna dalam ruangan tiga matra, seperti bentuk bola. Seperti lingkaran dalam tiga dimensi, sfera yang benar-benar sempurna bersimetri di sekitar pusat, dengan semua titik pada permukaan berada pada jarak j yang sama dari titik pusat. Jarak ini j dikenali sebagai jejari sfera. Jarak lurus maksimum melalui bola dikenali sebagai diameter bola. Jalur ini melewati pusat dan dengan memiliki panjang dua kali jejari.

Bagi matematik yang lebih tinggi, perbezaan yang wujud antara sfera (permukaan sfera dua dimensi yang tertanam dalam ruang Euclides tiga-dimensi) dan bola (bentuk tiga dimensi yang mengandungi sfera dan dalamannya).

Sebagaimana ditakrifkan dalam fizik, sebuah sfera adalah objek (biasanya diidealkan demi kesederhanaan) yang mampu berlanggar atau tertumpu dengan benda lain yang mengisi ruang.

Isi padu sfera

Dalam 3 dimensi, isi padu yang dibendung dalam sebuah sfera (iaitu, isi padu bola) diberikan oleh rumus

$V=\frac{4}{3}\pi j^3$

iaitu j ialah jejari sfera dan π ialah pemalar pi. Rumus ini mula diterbitkan oleh Archimedes, yang memperlihatkan isi padu 2/3 dari silinder yang terbendung. (Hal ini menurut prinsip Cavalieri.) Dalam matematik moden, rumus ini boleh diterbitkan menggunakan kalkulus kamiran, contohnya pengkamiran cakera.

Bagi sebarang x, penambahan isi padu (δV) diberikan oleh hasil darab keratan rentas luas cakera pada x dan ketebalannya (δx):

$\delta V\approx \pi y^2\cdot \delta x.$

The total volume is the summation of all incremental volumes:

$V\approx \sum \pi y^2\cdot \delta x.$

Bagi had apabila δx menghampiri sifar, ia menjadi:

$V=\underset{x=0}{\overset{x=j}{\int }}\pi y^{2}dx.$

Bagi sebarang x, segi tiga tegak menghubungkan x, y dan j ke asalan, lalu ia mengikut teorem Pythagoras yang:

$j^2=x^2+y^2.$

Lalu, gantikan y dengan fungsi x dan memberikan:

$V=\underset{x=0}{\overset{x=j}{\int }}\pi (j^2-x^2)dx.$

Ia boleh dinilaikan sebagai:

$V=\pi {[j^{2}x-\frac{x^3}{3}]}_{x=0}^{x=j}=\pi (j^3-\frac{j^3}{3})=\frac{2}{3}\pi j^3.$

Isi padu ini ditakrifkan sebagai hemisfera, iaitu separa sfera. Gandakannya sebanyak dua kali akan memberikan isi padu sfera iaitu:

$V=\frac{4}{3}\pi j^3.$

Kaedah lain bagi rumus ini boleh menggunakan koordinat sfera, bagi unsur isi padu

$\mathrm{d}V=j^2\sin \theta \mathrm{d}j\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$

Rujukan

• William Dunham. "Pages 28, 226", The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities, ISBN 0-471-17661-3.
• Surface area of sphere proof.

Pautan luar

• Sphere (PlanetMath.org website)
• Mathworld website
• Mathematica/Uniform Spherical Distribution
• Templat:Cite video
• Pembinaan homeomorfisma dari sfera ke elipsoid.