Hukum sinus

Dalam trigonometri, hukum sinus ialah pernyataan tentang segi tiga yang berubah-ubah. Jika sisi segi tiga ialah a, b dan c dan sudut yang berhadapan dengan sisi iaitu A, B and C, maka, hukum sinus menyatakan

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}.$

Rumus ini berguna untuk mengetahui panjang sisi yang lain dari segi tiga tersebut jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik segi tiga. Hukum ini dapat juga digunakan apabila 2 sisi dan 1 sudut diketahui; dalam kes ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dinyatakan. Apabila hal ini terjadi, lazimnya hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kes lain, ada 2 penyelesaian sahih pada segi tiga.

Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter suatu lingkaran yang melalui ketiga-tiga bucu segi tiga, d. Kemudian hukum ini dapat ditulis sebagai

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=d.$

Dengan ini, dapat ditunjukkan bahawa:

$d=\frac{abc}{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}=\frac{2abc}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2+2(a^4+b^4+c^4)}}$

dengan s merupakan semiperimeter,

$s=\frac{(a+b+c)}{2}$

Turutan

Bina segi tiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berlawanan A, B, dan C. Buat garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segi tiga siku-siku, dan nyatakan panjang garis ini sebagai h.

Didapati bahawa:

$\sin A=\frac{h}{b}$ and $\sin B=\frac{h}{a}$

Kemudian:

$h=b\sin A=a\sin B$

dan

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}.$

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:

$\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$

Lihat juga

• Hukum kosinus