Senarai identiti logaritma

Dalam matematik, banyak identiti logaritma wujud. Berikut ialah kompilasi yang terkenal, kebanyakannya digunakan untuk tujuan perhitungan.

Sifat asas

Sifat remeh

Salah satu yang paling asas dalam identiti logaritma, ialah $b^{}\log b=1$, kerana $b^1=b$. Terdapat sifat asas lain, iaitu

• $b^{}\log 1=0$, kerana $b^0=1$.
• $b^{}\log b^n=n$.

Sebagai pengecualian, logaritma dengan $b=0$ tidak memiliki nilai. Hasil had dari $b^{}\log 0=-\mathrm{\infty }$ ketika $b\to 0^{+}$. Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.

Pendaraban dan pembahagian

• $b^{}\log xy={}^b\log x+{}^b\log y$

Templat:Collapse top Misalnya $b^{}\log x=u$ dan $b^{}\log y=v$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh $x=b^u$ dan $y=b^v$. Maka,

$xy=b^{u+v}$.

Ambil logaritma asas $a$ pada kedua ruas sehingga

$b^{}\log xy={}^b\log x^{u+v}=u+v={}^b\log x+{}^b\log y◼$.Templat:Perlu rujukan

Templat:Collapse bottomSifat ini boleh digeneralisasikan kepada kes di mana numerus ialah hasil darab banyak istilah,

$b^{}\log \left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)=\sum _{i=1}^n{}^b\log x_i$.

• $b^{}\log \left(\frac{x}{y}\right)={}^b\log x-{}^b\log y$

Templat:Collapse top Misalnya $b^{}\log x=u$ dan $b^{}\log y=v$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh $x=b^u$ dan $y=b^v$. Maka, $\frac{x}{y}=a^{u-v}$

Ambil logaritma asas $a$ pada kedua ruas sehingga

$b^{}\log \frac{x}{y}={}^b\log x^{u-v}=u-v={}^b\log x-{}^b\log y◼$.Templat:Butuh rujukan

Penambahan dan pengurangan

• $b^{}\log (x+y)={}^b\log (x)+{}^b\log (1+\frac{y}{x})$
• $b^{}\log (x-y)={}^b\log x+{}^b\log (1-\frac{y}{x})$

Lebih umumnya lagi,

$b^{}\log \left(\sum _{i=0}^n{x}_i\right)={}^b\log x_0+{}^b\log (1+\sum _{i=1}^n\frac{a_i}{a_0})={}^b\log x_0+{}^b\log (1+\sum _{i=1}^n{b}^{({}^b\log x_i{-}^b\log x_0)})$.

Perubahan asas

Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai

$b^{}\log x=\frac{{}^p\log x}{{}^p\log b}$

dengan syarat $0<p<1$ dan $p>1$ dan $p\ne 1$, dengan mengikuti definisi logaritma.Templat:Collapse topMisal $b^{}\log x=y$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh $b^y=x$. Maka, kita tuliskan sebagai

$p^{}\log x{=}^p\log b^y$

Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka

$\begin{array}{cc}{}^p\log x& =y{}^p\log b\\ y& =\frac{{}^p\log x}{{}^p\log b}\end{array}$

Substitusi kembali sehingga didapati

$b^{}\log x=\frac{{}^p\log x}{{}^p\log b}◼$.

Pembahagian dan pembahagian dalam asas logaritma

• ${\log }_{bc}(x)=\frac{1}{\frac{1}{{\log }_b(x)}+\frac{1}{{\log }_c(x)}}$
• ${\log }_{\frac{b}{c}}(x)=\frac{1}{\frac{1}{{\log }_b(x)}-\frac{1}{{\log }_c(x)}}$

Pertukaran asas

Pertukaran asas pada logaritma dapat dirumuskan sebagai

$b^{}\log x=\frac{1}{{}^x\log b}$.

Templat:Collapse top Dengan menggunakan sifat perubahan basis, maka kita dapat memisalkan $p=x$ akan memperoleh

$b^{}\log x=\frac{{}^x\log x}{{}^x\log b}=\frac{1}{{}^x\log b}$. $◼$Templat:Butuh rujukan

Logaritma dalam eksponen

• $x^{\frac{\log (\log x)}{\log x}}=\log x$ atau $x^{\frac{\log a}{\log x}}=a$

Templat:Collapse top Menggunakan sifat perubahan asas, akan memperoleh

$x^{\frac{\log a}{\log x}}=x^{{}^x\log a}=a$. $◼$

Pendekatan logaritma

• $\log x\approx \frac{x^x-1}{x}$
• $\log (1+x)\approx x$

Bentuk pecahan berlanjut

Logaritma semula jadi

• $\ln (1+x)=\frac{x}{1-0x+\frac{1^{2}x}{2-1x+\frac{2^{2}x}{3-2x+\frac{3^{2}x}{4-3x+\frac{4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}$

• $\ln (1+\frac{x}{y})=\frac{x}{y+\frac{1x}{2+\frac{1x}{3y+\frac{2x}{2+\frac{2x}{5y+\frac{3x}{2+\ddots }}}}}}=\frac{2x}{2y+x-\frac{(1x{)}^2}{3(2y+x)-\frac{(2x{)}^2}{5(2y+x)-\frac{(3x{)}^2}{7(2y+x)-\ddots }}}}$

Pautan luar

• Logarithm in Mathwords