Lihat sumber bagi Titik Lagrange

[[File:Lagrange points2.svg|thumb|right|330px|Plot kontur [[keupayaan berkesan]] berasaskan graviti dan [[daya memusat]] sistem dua jasad dalam suatu rangka rujukan berputar. Anak-anak panah menandakan kecerunan potensi di sekitar kelima-lima titik Lagrange—menurun ke arahnya (<span style="color:red;">merah</span>) atau menurun pergi darinya (<span style="color:blue;">biru</span>). Secara kaunterintuitif, titik-titik L<sub>4</sub> dan L<sub>5</sub> adalah [[Maksima dan minima|titik-titik tinggi]] potensi tersebut. Di titik-titik inilah daya-daya ini adalah seimbang.]]
[[File:Lagrangian points equipotential.png|thumb|Gambaran hubungan antara titik-titik Lagrange (merah) bagi sesebuah planet (biru) yang mengorbit sesebuah bintang (kuning) secaa lawan arah jam, serta potensi graviti dalam satah yang mengandungi orbit (model keping getah kelabu dengan kontur-kontur ungu yang setara potensinya).<ref>[http://iopscience.iop.org/0004-637X/603/1/283/fulltext/59132.text.html ZF Seidov, "The Roche Problem: Some Analytics", The Astrophysical Journal, 603:283-284, 2004 March 1]</ref><br />[[:File:Lagrangian points equipotential.gif|Klik untuk animasi.]] ]]

'''Titik Lagrange''' ('''titik L''' atau '''titik [[librasi]]''') adalah lima kedudukan di dalam sebuah konfigurasi [[orbit]] yang mana sesebuah objek kecil yang dipengaruhi oleh [[graviti]] sahaja boleh secara teori menjadi sebahagian daripada suatu corak bentuk malar dengan dua objek lebih besar (seperti [[satelit]] yang berkenaan dengan [[Bumi]] dan [[Bulan]]). Titik-titik Lagrange menandai kedudukan di mana gabungan tarikan graviti dua jasad besar membekalkan [[daya memusat]] setepatnya yang diperlukan untuk [[orbit]] bersama mereka.

Titik Lagrange merupakan penyelesaian pola malar kepada [[masalah tiga jasad]] yang terbatas. Contohnya, dengan dua buah jasad besar dalam orbit-orbit yang mengelilingi satu [[pusat jisim]] yang dikongsi oleh dua jasad itu, terdapat lima kedudukan di angkasa di mana boleh terletaknya sesebuah jasad ketiga yang tidak begitu ketara [[jisim]]nya untuk mengekalkan kedudukannya secara nisbi dengan dua jasad besar. Seperti yang dilihat dalam [[rangka rujukan berpusat]] yang sepadan dengan halaju sudut kedua-dua jasad seorbit itu, [[medan graviti]] dua jasad besar itu adalah seimbang dengan pecutan [[satelit]] di titik-titik Lagrange, membolehkan jasad ketiga itu untuk kekal pegun secara nisbi dengan dua jasad terdahulu.<ref>"[http://demonstrations.wolfram.com/LagrangePoints/ Lagrange Points]" oleh Enrique Zeleny, [[Wolfram Demonstrations Project]].</ref>

==Sejarah dan konsep==
Tiga titik Lagrange kolinear (L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub>) sudah ditemui oleh [[Leonhard Euler]] beberapa tahun sebelum Lagrange menemui yang dua lagi.<ref>{{Cite book|title=Dynamical Systems, the Three-Body Problem, and Space Mission Design |last=Koon |first=W. S. |coauthors=M. W. Lo, J. E. Marsden, and S. D. Ross |url=http://www.cds.caltech.edu/~marsden/books/Mission_Design.html |year=2006 |page=9}} (16MB)</ref><ref name="E327">[[Leonhard Euler]], [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E327.pdf De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium] (1765)</ref>

Pada tahun 1772, [[Joseph Louis Lagrange]] menerbitkan "Esei mengenai [[masalah tiga jasad]]". Dalam bab pertama, beliau membincangkan masalah tiga jasad yang umum. Daripada itu, dalam bab kedua, beliau mendemonstrasikan dua [[penyelesaian pola malar]] istimewa, iaitu yang kolinear dan yang sama sisi, untuk mana-mana tiga jasad yang berorbit bulat.<ref name="gallica.bnf.fr">{{fr icon}} {{Cite book|last= Lagrange |first= Joseph-Louis |authorlink= Joseph-Louis Lagrange |title= Oeuvres de Lagrange |year= 1867–92 |publisher= Gauthier-Villars |chapter = Tome 6, Chapitre II: Essai sur le problème des trois corps |pages = 229–334 |url= http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229225j/f231.image.r=Oeuvres+de+Lagrange.langFR }}</ref>

==Titik-titik Lagrange==
[[File:Lagrange very massive.svg|thumb|300px|Gambarajah yang menunjukkan kelima-lima titik Lagrange dalam sesebuah sistem dwijasad yang mana salah satu jasad jauh lebih besar jisimnya daripada yang satu lagi (cth. Matahari dan Bumi). Dalam sistem sedemikian, {{L3|nolink=yes}}–{{L5|nolink=yes}} akan muncul untuk berkongsi orbit dengan jasad kedua besar, walaupun sebenarnya terletak nyaris-nyaris di luar sistem.]]
[[File:Restricted Three-Body Problem - Energy Potential Analysis.png|thumb|300px| [[Masalah tiga jasad]] boleh digambarkan sebagai gabungan potensi disebabkan graviti dua jasad utama di samping kesan memusat daripada putaran mereka (kesan Coriolis adalah dinamik dan tidak ditunjukkan). Kemudian, titik-titik Lagrange boleh kelihatan sebagai lima tempat di mana kecerunan paduan pada permukaan adalah sifar (ditunjukkan sebagai garis-garis biru) yang menandakan bahawa daya-dayanya di situ adalah seimbang.]]
Lima titik Lagrange dilabelkan dan ditakrifkan seperti berikut:

==={{L1|nolink=yes}}===
Titik '''{{L1|nolink=yes}}''' terletak pada garis yang ditakrifkan oleh dua jasad besar M<sub>1</sub> dan M<sub>2</sub>, dan di antara kedua-dua jasad tersebut. Ianya titik Lagrange yang paling difahami secara intuisi, iaitu satu yang mana tarikan graviti M<sub>2</sub> menutup separa tarikan graviti M<sub>1</sub>.

: '''Contoh:''' Sesebuah objek yang meng[[orbit]] [[Matahari]] dengan lebih dekat daripada [[Bumi]] biasanya lebih singkat tempoh orbitnya berbanding Bumi, tetapi itu tidak mengambil kira kesan tarikan graviti Bumi sendiri. Jika objek itu langsung berada di antara Bumi dan Matahari, maka graviti Bumi melemahkan daya yang menarik objek tersebut ke arah Matahari, dan oleh itu melanjutkan tempoh orbit objek tersebut. Makin dekat objek itu dengan Bumi, makin besar kesannya. Di titik {{L1|nolink=yes}}, tempoh orbit objek itu menjadi bersamaan tepat dengan tempoh orbit Bumi. {{L1|nolink=yes}} terletak kira-kira 1.5&nbsp;juta kilometer dari Bumi.<ref>{{cite web
 |url          = http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.pdf
 |title        = The Lagrangian Points
 |date         = 
 |last         = Cornish
 |first        = Neil J.
 |authorlink   = 
 |work         = 
 |publisher    = Department of Physics, [[Bozeman Campus, Montana State University, USA]]
 |accessdate   = 29 July 2011
 |archive-date = 2015-09-07
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20150907090116/http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.pdf
 |url-status   = dead
}}</ref>

Lokasi L<sub>1</sub> adalah penyelesaian kepada persamaan berikut yang mengimbangi gravitasi dan daya memusat:

<math>\frac{M_1}{(R-r)^2}=\frac{M_2}{r^2}+\left(\frac{M_1}{M_1+M_2}R-r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}</math>

yang mana ''r'' adalah jarak titik L<sub>1</sub> dari objek yang lebih kecil, ''R'' adalah jarak di antara dua objek utama, M<sub>1</sub> dan M<sub>2</sub> adalah jisim masing-masing bagi objek besar dan kecil. (Kuantiti dalam tanda kurungan kanan ialah jarak L<sub>1</sub> dari pusat jisim.) Penyelesaian persamaan ini untuk ''r'' melibatkan penyelesaian [[kuintik]], tetapi jika jisim M<sub>2</sub> jauh lebih kecil daripada M<sub>1</sub> maka {{L1|nolink=yes}} dan {{L2|nolink=yes}} adalah lebih kurang bersamaan dengan ''r'', iaitu bersamaan dengan jejari [[sfera Hill]], iaitu:

: <math>r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}</math>

Jarak ini boleh diterangkan sebagai sebegitu mana [[tempoh orbit]] yang bersamaan dengan orbit bulat dengan jarak ini sebagai jejari di keliling M<sub>2</sub> jika tiadanya M<sub>1</sub>, adalah bersamaan dengan jejari M<sub>2</sub> di keliling M<sub>1</sub> dibahagi dengan <math>\sqrt{3}\approx 1.73</math>:

: <math>T_{s,M_2}(r) = \frac{T_{M_2,M_1}(R)}{\sqrt{3}}.</math>

{{L1|nolink=yes}}  Matahari–Bumi sesuai untuk melakukan pencerapan terhadap sistem Matahari–Bumi, di mana objek-objeknya tidak sesekali dibayangi oleh Bumi atau Bulan. Misi pertama yang sedemikian adalah misi [[International Cometary Explorer|International Sun Earth Explorer 3]] (ISEE3) yang digunakan sebagai pemantau ribut amaran awal antara planet untuk gangguan suria. Kebolehlaksanaan orbitnya adalah hasil daripada tesis PhD oleh ahli astrodinamik, Robert W. Farquhar.<ref>Farquhar, R. W.: "The Control and Use of Libration-Point Satellites", Ph.D. Dissertation, Dept. of Aeronautics and Astronautics, Stanford University, Stanford, CA, 1968</ref> Kemudiannya, [[Solar and Heliospheric Observatory]] (SOHO) ditempatkan di suatu [[orbit Halo]] pada {{L1|nolink=yes}}, dan [[Advanced Composition Explorer]] (ACE) di suatu [[orbit Lissajous]], juga pada titik {{L1|nolink=yes}}. [[WIND (kuar angkasa)|WIND]] juga terletak di {{L1|nolink=yes}}.

{{L1|nolink=yes}} Bumi–Bulan membolehkan capaian yang agak mudah kepada orbit-orbit Bulan dan Bumi tanpa perubahan ketara pada halaju, dan oleh itu mendapat kelebihan untuk mendudukkan stesen angkasa bermanusia separuh jalan yang bertujuan untuk memudahkan pengangkutan kargo dan kakitangan berulang-alik ke Bulan.

Dalam sistem bintang perduaan, [[lobus Roche]] terletak puncaknya di {{L1|nolink=yes}}; sebarang bintang yang melimpahi lobus Rochenya akan kehilangan jirim kepada bintang temannya.

[[File:ACE_at_L1.png|thumb|300px|Satelit [[Advanced Composition Explorer|ACE]] di dalam orbit sekitar L<sub>1</sub>]]
Titik L<sub>1</sub> juga penting untuk [[satelit penyelidikan sains]].

==={{L2|nolink=yes}}===
[[File:L2 rendering.jpg|thumb|300px|Gambarajah yang menunjukkan titik {{L2|nolink=yes}} Matahari–Bumi yang terletak hanya di luar orbit Bulan di keliling Bumi]]
Titik '''{{L2|nolink=yes}}''' terletak pada garis yang melalui dua jasad besar, hanya di luar jasad mana yang lebih kecil. Di sini, daya graviti kedua-dua jasad besar itu mengimbangi kesan memusat terhadap sesebuah jasad pada {{L2|nolink=yes}}.

: '''Contoh:''' Di muka Bumi yang menoleh dari Matahari, tempoh orbit sesebuah objek biasanya lebih lanjut daripada tempoh orbit Bumi. Tarikan tambahan dari graviti Bumi mengurangkan tempoh orbit objek tersebut, dan pada titik {{L2|nolink=yes}}-lah objek itu menjadi bersamaan tempoh orbitnya dengan Bumi.

Titik {{L2|nolink=yes}} Matahari–Bumi adalah tempat yang sesuai untuk balai cerap asas angkasa. Oleh sebab sesebuah objek di sekitar {{L2|nolink=yes}} akan mengekalkan kedudukan nisbi yang sama berkenaan dengan Matahari dan Bumi, maka pemerisaian dan penentukurannya jauh lebih mudah. Bagaimanapun, ianya sedikit di luar capaian [[umbra]] Bumi,<ref>Angular size of the Sun at 1 AU + 930000 miles: 31.6', angular size of Earth at 930000 miles: 29.3'</ref> maka sinaran Matahari tidak dihalang sepenuhnya. [[Balai cerap angkasa]] [[Planck (kapal angkasa)|Planck]] sudah pun di dalam orbit di sekitar {{L2|nolink=yes}} Matahari–Bumi, begitu juga dengan [[Balai Cerap Angkasa Lepas Herschel|Herschel]] (hingga Jun 2013<ref name=HerschelSource>{{cite web|url=http://www.huffingtonpost.com/2013/06/19/herschel-telescope-shut-down-esa_n_3461962.html|title=Herschel Space Telescope Shut Down For Good, ESA Announces}}</ref>), [[Chang'e 2]] (hingga April 2012<ref name=EngSource>{{cite web|url=http://www.planetary.org/blogs/emily-lakdawalla/2012/20120614-change-2-toutatis.html|title=Chang'E 2 has departed Earth's neighborhood for.....asteroid Toutatis!?|last=Lakdawalla|first=Emily|date=2012-06-14|date=14 June 2012|accessdate=15 Jun 2012}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.planetary.org/blogs/emily-lakdawalla/2012/06150926-change2-update.html|title=Update on yesterday's post about Chang'E 2 going to Toutatis|publisher=[[Planetary Society]]|date=15 June 2012|accessdate=26 June 2012}}</ref>) dan
[[Kuar Anistropi Gelombang Mikro Wilkinson]]<ref name="graveyard">{{cite web|title=MISSION COMPLETE! WMAP FIRES ITS THRUSTERS FOR THE LAST TIME|url=http://news.discovery.com/space/mission-complete-wmap-fires-its-thrusters-for-the-last-time.html}}</ref> (hingga Oktober 2010). [[Misi Gaia|Kuar Gaia]] dan [[Teleskop Angkasa Lepas James Webb]] bakal ditempatkan di {{L2|nolink=yes}} Matahari–Bumi.

Titik {{L2|nolink=yes}} Bumi–Bulan mungkin lokasi yang sesuai untuk [[satelit komunikasi]] yang meliputi muka jauh Bulan, dan juga suatu "lokasi idaman" untuk [[depot bahan dorong]] dalam cadangan seni bina pengangkutan angkasa berasaskan depot.<ref name="aiaa20100902_p4">{{cite web |last=Zegler |first=Frank |title=Evolving to a Depot-Based Space Transportation Architecture |url=http://www.ulalaunch.com/site/docs/publications/DepotBasedTransportationArchitecture2010.pdf |work=AIAA SPACE 2010 Conference & Exposition |publisher=AIAA |accessdate=2011-01-25 |coauthors=Bernard Kutter |date=2010-09-02 |page=4 |quote=L2 is in deep space far away from any planetary surface and hence the thermal, micrometeoroid, and atomic oxygen environments are vastly superior to those in LEO. Thermodynamic stasis and extended hardware life are far easier to obtain without these punishing conditions seen in LEO. L2 is not just a great gateway- it is a great place to store propellants. ... L2 is an ideal location to store propellants and cargos: it is close, high energy, and cold. More importantly, it allows the continuous onward movement of propellants from LEO depots thus suppressing their size and effectively minimizing the near-earth boiloff penalties. |archive-date=2012-03-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120309094342/http://www.ulalaunch.com/site/docs/publications/DepotBasedTransportationArchitecture2010.pdf |url-status=dead }}</ref>

Lokasi L<sub>2</sub> adalah penyelesaian kepada persamaan berikut yang mengimbangi gravitasi dengan daya memusat:

<math>\frac{M_1}{(R+r)^2}+\frac{M_2}{r^2}=\left(\frac{M_1}{M_1+M_2}R+r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}</math>

dengan parameter-parameter yang sama takrifannya dengan perihal L<sub>1</sub>. Sekali lagi, jika jisim M<sub>2</sub> jauh lebih kecil daripada jisim M<sub>1</sub>, maka L<sub>2</sub> adalah lebih kurang sama dengan jejari [[sfera Hill]], iaitu:

: <math>r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}</math>

====Contoh====
* [[Matahari]] dan [[Bumi]]: {{convert|1,500,000|km|abbr=on}} dari Bumi
* [[Bumi]] dan [[Bulan]]: {{convert|60,000|km|abbr=on}} dari Bulan<ref>Zegler, Frank; Bernard Kutter (2010-09-02). [http://www.ulalaunch.com/site/docs/publications/DepotBasedTransportationArchitecture2010.pdf "Evolving to a Depot-Based Space Transportation Architecture"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120309094342/http://www.ulalaunch.com/site/docs/publications/DepotBasedTransportationArchitecture2010.pdf |date=2012-03-09 }}. ''AIAA SPACE 2010 Conference & Exposition''. AIAA. p. 4. Retrieved 2011-08-30. "We can create an energy savings account by moving propellant to the earth-moon Lagrange points—especially L2. Located 60,000&nbsp;km beyond the Moon, propellant or cargo cached at L2 is very nearly at earth escape energy. It takes only a small nudge to dislodge it from Earth's gravitational grasp. This has been known for decades and L2 is often called a gateway to the solar system."</ref>

===L<sub>3</sub>===
Titik '''{{L3|nolink=yes}}''' terletak pada garis yang ditentukan oleh kedua-dua jasad besar, hanya di luar jasad mana yang lebih besar.

: '''Contoh:''' {{L3|nolink=yes}} dalam sistem Matahari–Bumi wujud di muka bertentangan Matahari, sedikit di luar orbit Bumi tetapi sedikit lebih dekat daripada Matahari berbanding Bumi. ('Pertindanan' ini adalah kerana Matahari juga dipengaruhi oleh graviti Bumi, dan oleh itu mengorbit di keliling [[Koordinat baripusat (astronomi)|baripusat]] kedua-dua jasad yang sebenarnya di dalam Matahari.) Di titik {{L3|nolink=yes}}, gabungan tarikan Bumi dengan Matahari sekali lagi menyebabkan objek berkenaan untuk mengorbit sama lama dengan Bumi.

Lokasi L<sub>3</sub> adalah penyelesaian kepada persamaan berikut yang mengimbangi gravitasi dan daya memusat:

<math>\frac{M_1}{(R-r)^2}+\frac{M_2}{(2R-r)^2}=\left(\frac{M_2}{M_1+M_2}R+R-r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}</math>

dengan parameter-parameter yang ditakrifkan seperti mana dalam perihak L<sub>1</sub> dan L<sub>2</sub>, kecuali ''r'' kini menandakan berapa dekatnya L<sub>3</sub> kepada objek yang lebih besar daripada objek yang lebih kecil. Jika jisim M<sub>2</sub> kurang daripada M<sub>1</sub> maka:

: <math>r \approx R \frac{7M_2}{12 M_1}</math>

Sesebuah kuar angkasa yang mengorbit berhampiran titik {{L3|nolink=yes}} Matahari–Bumi tentu dapat mencerap dengan dekat evolusi kawasan tompok matahari yang aktif sebelum berputar ke dalam kedudukan geoefektif, supaya amaran seawal 7 hari boleh dikeluarkan oleh Pusat Peramalan Cuaca Angkasa Lepas [[NOAA]]. Lebih-lebih lagi, sesebuah satelit berdekatan titik {{L3|nolink=yes}} Matahari–Bumi akan membekalkan pemerhatian yang amat penting bukan sahaja untuk ramalan Bumi, bahkan juga untuk bantuan di angkasa lepas (ramalan Marikh dan untuk misi bermanusia ke [[asteroid dekat Bumi]]). Pada tahun 2010, telah dikajinya trajektori pemindahan kuar angkasa ke {{L3|nolink=yes}} Matahari–Bumi dan sesetengah reka-ciptaan telah dipertimbangkan.<ref name="transferslibthree">{{Cite journal|title=Spacecraft trajectories to the {{L3|nolink=yes}} point of the Sun–Earth three-body problem |journal=Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy (Springer) |last1=Tantardini |first1=Marco|last2=Fantino |first2=Elena |coauthors= Yuan Ren, Pierpaolo Pergola, Gerard Gómez and Josep J. Masdemont |url=http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10569-010-9299-x |year=2010}}</ref>

Salah satu contoh asteroid yang melintasi titik {{L3|nolink=yes}} adalah [[rumpun Hilda]] yang dibawa oleh orbitnya ke titik {{L3|nolink=yes}} Matahari–Musytari.

==={{L4|nolink=yes}} dan {{L5|nolink=yes}}===
[[File:L4 diagram.svg|thumb|right|200px|Pecutan gravitasi pada {{L4|nolink=yes}}]]
Titik-titik '''{{L4|nolink=yes}}''' dan '''{{L5|nolink=yes}}''' terletak di sudut ketiga bagi dua [[segi tiga sama sisi]] di satah orbit yang tapak sepunyanya adalah garis di antara kedua-dua pusat jasad tersebut, yang mana titik itu berada di belakang ({{L5|nolink=yes}}) atau di hadapan ({{L4|nolink=yes}}) jasad yang lebih kecil berkenaan dengan orbitnya di keliling jasad yang lebih besar.

Titik-titik ini seimbang kerana di {{L4|nolink=yes}} dan {{L5|nolink=yes}}, jarak dengan kedua-dua jasad adalah setara. Sehubungan itu, daya graviti dari kedua-dua jasad besar itu berada pada nisbah yang sama dengan jisim kedua-dua jasad, dan oleh itu daya paduan bertindak melalui [[baripusat Bumi–Bulan|baripusat]] sistem; selain itu, geometri segi tiga itu memastikan bahawa pecutan [[paduan]] adalah ke arah dari baripusat pada [[nisbah]] yang sama dengan dua jasad besar itu. Dengan baripusat sebagai [[pusat jisim]] dan pusat putaran sistem sekali gus, daya paduan ini bertepatan dengan yang diperlukan untuk mengekalkan sesebuah jasad pada titik Lagrange dalam [[Keseimbangan dinamik|keseimbangan]] orbit dengan seluruh sistem. (Sesungguhnya jasad ketiga tidak memerlukan jisim yang tidak ketara). Konfigurasi segi tiga umum ditemui oleh Lagrange sewaktu mengerjakan [[masalah tiga jasad]].

{{L4|nolink=yes}} dan {{L5|nolink=yes}} adakalanya bergelar ''titik Lagrange segi tiga'' atau ''titik trojan''.  Nama ''titik Trojan'' adalah bersempena [[Trojan Musytari|asteroid-asteroid Trojan]] pada titik-titik {{L4|nolink=yes}} dan {{L5|nolink=yes}} Matahari–[[Musytari]]. Asteroid-asteroid pada titik {{L4|nolink=yes}} yang mendepani Musytari dipanggil "[[Senarai asteroid Trojan (kem Yunani)|kem Yunani]]", while those at the {{L5|nolink=yes}} point are referred to as the "[[Senarai asteroid Trojan (kem Troy)|kem Trojan]]". Asteroid ini rata-rata dinamai sempena tokoh-tokoh dari kem masing-masing dalam [[Perang Troy]].

====Contoh====
* Titik-titik {{L4|nolink=yes}} dan {{L5|nolink=yes}} Matahari–Bumi masing-masing terletak 60° di hadapan dan 60° di belakang Bumi yang mengorbit Matahari. Kawasan-kawasan di sekitar titik-titik ini mengandungi debu antara planet dan sekurang-kurangnya sebuah asteroid, {{mpl|2010 TK|7}}, yang dikesan pada Oktober 2010 oleh [[Wide-field Infrared Survey Explorer|WISE]] dan diumumkan pada Julai 2011.<ref>[http://www.space.com/12443-earth-asteroid-companion-discovered-2010-tk7.html Space.com: ''First Asteroid Companion of Earth Discovered at Last'']</ref><ref>[http://www.nasa.gov/home/hqnews/2011/jul/HQ_11-247_WISE_Trojan.html NASA—NASA's Wise Mission Finds First Trojan Asteroid Sharing Earth's Orbit]</ref>
* Titik-titik {{L4|nolink=yes}} dan {{L5|nolink=yes}} Bumi–Bulan masing-masing terletak 60° di hadapan dan 60° di belakang Bulan yang mengorbit Bumi. Ia mungkin mengandungi debu antara planet di dalam apa yang dipanggil [[awan Kordylewski]]; bagaimanapun, Pengira Debu Munich (MDC) pada kuar angkasa [[Hiten]] tidak mengesan sebarang peningkatan pada debu apabila ia melintasi kedua-dua titik ini.
* Kawasan di sekitar titik-titik {{L4|nolink=yes}} dan {{L5|nolink=yes}} Matahari–[[Musytari]] diduduki oleh [[Trojan Musytari|asteroid Trojan]].
* Kawasan di sekitar titik-titik {{L4|nolink=yes}} dan {{L5|nolink=yes}} Matahari–[[Neptun]] mempunyai objek-objek [[Trojan Neptun|trojan]].<ref name="ntrojans">{{cite web
 |title       = List Of Neptune Trojans
 |publisher   = Minor Planet Center
 |url         = http://www.minorplanetcenter.org/iau/lists/NeptuneTrojans.html
 |accessdate  = 2010-10-27
 |archiveurl  = https://www.webcitation.org/61AHpB6Oa?url=http://www.minorplanetcenter.org/iau/lists/NeptuneTrojans.html
 |archivedate = 2011-08-24
 |deadurl     = no
 |url-status  = live
}}</ref>
* [[Tethys (bulan)|Tethys]] iaitu bulan [[Zuhal]] mempunyai dua satelit yang lebih kecil pada titik-titik {{L4|nolink=yes}} dan {{L5|nolink=yes}}nya iaitu masing-masing [[Telesto (bulan)|Telesto]] dan [[Calypso (bulan)|Calypso]].
* [[Dione (bulan)|Dione]] iaitu bulan [[Zuhal]] mempunyai dua satelit yang lebih kecil pada titik-titik {{L4|nolink=yes}} dan {{L5|nolink=yes}}nya iaitu masing-masing [[Helene (bulan)|Helene]] dan  [[Polydeuces(bulan)|Polydeuces]].

==Catatan==
<references group="note"/>

==Rujukan==
{{reflist}}

[[Kategori:Trojan (astronomi)]]
[[Kategori:Mekanik Lagrange]]