Lihat sumber bagi Tetrasi

[[Fail:TetrationConvergence2D.svg|thumb|350x350px|Graf fungsi <math>{}_{ }^n\!x  </math> di mana <math>n = 2,3,4, \cdots </math>.

Ia menunjukkan penumpuan kepada tetrasi tak terhingga antara dua titik.]]
Dalam bidang [[matematik]], '''tetrasi''' adalah operasi [[aritmetik]] berdasarkan ulangan, iterasi [[Pengeksponenan|eksponensiasi]]. Tiada wujud tatatanda standard untuk mewakili operasi tetrasi, tetapi wujud beberapa tatatanda lain. Antara tatatanda yang kadang digunakan adalah [[Tatatanda Anak Panah Atas Knuth|Notasi Anak Panah Atas Knuth]] (<math>\uparrow\uparrow</math>) dan <math>{}_{ }^b\!a</math>. Operasi tetrasi adalah hiper-operasi ke-4, sebelum [[pentasi]] dan selepas eksponensiasi.

Bahawa definisinya, tetrasi <math>{}_{ }^b\!a</math> adalah <math>a</math> dieksponenkan <math>b</math> kali. Jadi;

<math>{}_{ }^b\!a := \underbrace{ a^{a^{a^{...^a}}} }_{ b \, \, \mathrm{kali} }</math>

Secara terminologi, <math>a</math> dipanggil sebagai ''<nowiki/>'asas''<nowiki/>' operasi ini dan <math>b</math> dipanggil sebagai''''' '<nowiki/>'''tinggi''<nowiki/>' operasi ini. Serupa dengan eksponensiasi, ia disebut sebagai "tetrasi <math>b</math> bagi <math>a</math>". Tetrasi dikira dari atas-kanan ke bawah-kiri. Maka, <math>a^{b^c}</math> sama dengan <math>a^{(b^c)}</math>, tetapi bukan sama dengan <math>a^{bc}</math>. Tetrasi juga boleh ditulis dalam definisi rekursifnya;

<math>a \uparrow\uparrow n = \begin{cases} \mathrm{if} \, n=0, 1 \\ \mathrm{if} \, n>0, \, a^{a \uparrow \uparrow (n-1) } \end{cases}</math>

Definisi rekursif ini boleh digunakan untuk memperpanjangkan domain tetrasi untuk mengambil beberapa jenis nombor untuk <math>a</math> dan <math>b</math>. Seperti [[nombor nisbah]], [[Nombor bukan nisbah|nombor bukan nisah]], [[nombor negatif]] dan [[nombor kompleks]]. 

[[Fungsi songsang]] bagi tetrasi adalah '''punca kuasa super''' dan '''logaritma-super'''. [[Fungsi|Fungsi-fungsi]] ini merupakan fungsi bukan asas.

Tetrasi digunakan untuk mewakili nombor bergergasi.

== Pengenalan ==
Empat [[hiper-operasi]] yang pertama ditunjukkan di sini. Tetrasi dianggar sebagai hiper-operasi ke-4 dalam siri ini.

=== Penambahan ===
{{See|Tanda matematik}}
Hiper-operasi pertama, penambahan, iterasi ''suksesi'';

<math>a + n = a + \underbrace{1 + 1 + 1 + \cdots + 1 }_{n \, \mathrm{kali}} </math>

=== Pendaraban ===
{{See|Pendaraban}}
Hiper-operasi kedua, pendaraban, iterasi tambahan;

<math>a \times n =  \underbrace{a + a + a + \cdots + a }_{n \, \mathrm{kali}} </math>

=== Pengeksponenan ===
{{See|Pengeksponenan}}
Hiper-operasi ketiga, pengeksponenan, iterasi pendaraban;

<math>a^n =  \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a }_{n \, \mathrm{kali}} </math>

=== Tetrasi ===
Hiper-operasi keempat, tetrasi, iterasi pengeksponenan;

<math>{}_{ }^b\!a := \underbrace{ a^{a^{a^{...^a}}} }_{ b \, \, \mathrm{kali} }</math>  (dikira dari kanan-atas ke kiri-bawah)

Siri ini bermulaan dengan suksesi. Suksesi adalah penambahan <math>+ 1</math> ke <math>a</math>. Maka, <math>a_{n+1} = a_n +1</math>. Kemudian adalah operasi aritmetik paling asas - penambahan. Ia boleh difikirkan sebagai suksesi dirantai <math>n</math> kali. Selepas itu, kita menjumpai operasi pendaraban. Ia adalah <math>a</math> ditamabah b kali. Ia diikuti dengan pengeksponenan, iaitu <math>a</math> darabi sendiri <math>n</math> kali. Dan akhir sekali, tetrasi. a dieskeponenkan <math>n</math> kali.

== Notasi Tetrasi ==
Terdapat beberapa notasi dan tatatanda untuk mewakili tetrasi. Ada fungsi yang boleh mewakili hiper-operasi lain, ada yang hanya terhad ke tetrasi;
{| class="wikitable"
|+
!Nama
!Bentuk Notasi
!Penerangan
|-
|Notasi Rudy Rucker
|<math>{}_{ }^n\!a</math>
|Menggunakan supskrip kiri-atas untuk mewakili tetrasi.
|-
|Notasi Anak Panah Atas Knuth
|<math>a \uparrow \uparrow n</math><math>a \uparrow^2 n</math>
|1 anak panah bersamaan dengan eksponensiasi, 2 anak panah merupakan tetrasi dan suatu indeks boleh ditambahi ke anak panah untuk menunjukkan hiper-operasi.
|-
|Notasi Anak Panah Beranti Conway
|<math>a \rightarrow n \rightarrow 2</math>
|<math>a \rightarrow n \rightarrow 2 = a \uparrow^2 n</math>.
|-
|Fungsi Ackermann
|<math>{}_{ }^n\!2 = \mathrm{A} (4, n-3)+3</math>
|Kes istimewa di mana <math>a = 2</math> boleh diwakili dengan ''fungsi Ackermann''.
|-
|Fungsi Iterasi Eksponensial
|<math>\mathrm{exp}_n^a (1) </math>
|Membenarkan sambungan mudah kepada eksponen berulang daripada nilai awal selain daripada 1.
|-
|Notasi Hooshmand 
|<math>\mathrm{uxp}_a (n) </math><math>a^{\underline{n}} </math>
|Digunakan oleh M. H. Hooshmand, 2006.
|-
|Notasi Hiper-Operasi
|<math>a [4] n </math><math>H_4 (a,n) </math>
|Membenarkan sambungan dengan menambah nombor 4, ini memberikan keluarga hiperoperasi.
|-
|Notasi Karet Dua
|<math>a </math> ^^ <math>n </math>
|Tidak biasa digunakan dalam matematik tetapi ia digunakan kerana notasi ini serupa dengan ''Notasi Anak Panah Atas Conway''.
|}

== Contoh ==
Tetrasi adalah operasi yang memberikan nombor bergergasi secara cepat. Nombor di jadual bawah menunjukkan hasil tetrasi. Nombor mengandungi perpuluhan hanya adalah hampiran.
{| class="wikitable"
|+Contoh Tetrasi
!<math>x</math>
!<math>{}_{ }^2\!x</math>
!<math>{}_{ }^{3}\!x</math>
!<math>{}_{ }^{4}\!x</math>
!<math>{}_{ }^{5}\!x</math>
!<math>{}_{ }^{6}\!x</math>
!<math>{}_{ }^{7}\!x</math>
!<math>{}_{ }^{8}\!x </math>
|-
|<big><math>1</math></big>
|<small><math>1</math></small>
|<small><math>1</math></small>
|<small><math>1</math></small>
|<small><math>1</math></small>
|<small><math>1</math></small>
|<small><math>1</math></small>
|<small><math>1</math></small>
|-
|<big><math>2</math></big>
|<small><math>4</math></small>
|<small><math>16</math></small>
|<small><math>65536</math></small>
|<small><math>2.0053 \times 10^{ 19728 }</math></small>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^3 (4.29508) </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^4 (4.29508) </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^5 (4.29508) </math>
|-
|<big><math>3</math></big>
|<small><math>27</math></small>
|<small><math>7,625,597,484,987</math></small>
|<small><math>1.258 \times 10^{3,638,334,640,024}</math></small>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^4 (1.09902) </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^5 (1.09902) </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^6 (1.09902)  </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^{7} (1.09902)  </math>
|-
|<big><math>4</math></big>
|<small><math>256</math></small>
|<small><math>1.34078 \times 10^{154}</math></small>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^3 (2.18726) </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^4 (2.18726)  </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^{5} (2.18726)  </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^{6} (2.18726)  </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^{7} (2.18726)   </math>
|-
|<big><math>5</math></big>
|<small><math>3125</math></small>
|<small><math>1.91101 \times 10^{2184}</math></small>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^3 (3.33928) </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^4 (3.33928) </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^{5} (3.33928) </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^{6} (3.33928) </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^{7} (3.33928) </math>
|-
|<big><math>6</math></big>
|<small><math>46,656</math></small>
|<small><math>2.65912 \times 10^{36,305}</math></small>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^3 (4.5597) </math><small><math>10 ^ {2.0692 \times 10^{36,305}}</math></small>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^4 (4.5597) </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^5 (4.5597) </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^6 (4.5597) </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^7 (4.5597)   </math>
|-
|<big><math>7</math></big>
|<small><math>823,543</math></small>
|<small><math>3.75982 \times 10^{695,974}</math></small>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^{3} (5.84259)  </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^{4} (5.84259)   </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^{5} (5.84259)   </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^{6} (5.84259)  </math>
|<math>\mathrm{exp}_{10}^{7} (5.84259)  </math>
|}

== Ekstensi Asas ==
Tetrasi boleh dilanjutkan dalam dua cara berbeza; dalam persamaan <math>{}_{ }^n\!a</math>, kedua-dua tapak <math>a</math> dan ketinggian <math>n</math> boleh digeneralisasikan menggunakan takrifan dan sifat tetrasi. Walaupun asas dan ketinggian boleh dilanjutkan melebihi integer bukan negatif kepada domain yang berbeza, termasuk <math>{}_{ }^n\!0 </math>, fungsi kompleks seperti <math>{}_{ }^n\!i </math>, dan ketinggian <math>n</math> tak terhingga, sifat tetrasi yang lebih terhad mengurangkan keupayaan untuk melanjutkan tetrasi.

=== Ekstensi domain untuk asas ===
<div class="boilerplate" id="tunas"> ''Rencana ini adalah sebuah [[Wikipedia:Rencana tunas|rencana tunas]]. Anda boleh membantu Wikipedia untuk {{plainlink|{{SERVER}}{{localurl:{{NAMESPACE}}:{{PAGENAME}}{{!}}action=edit}}|mengembangkannya}}''. </div>
[[Kategori:Eksponen]]
[[Kategori:Matematik]]
__NOEDITSECTION__