Lihat sumber bagi Teorem asas aritmetik

{{Bezakan|Teorem asas algebra}}
[[File:Disqvisitiones-800.jpg|thumb|Teorem pemfaktoran unik telah dibuktikan benar oleh [[Carl Freidrich Gauss|Gauss]] dalam buku tahun 1801 beliau, ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]''.<ref name="Gauss1801.loc=16">{{Harvtxt|Gauss|Clarke|1986|loc=Art. 16}}</ref> Dalam karya ini, Gauss telah menggunakan teorem asas ini untuk membuktikan [[hukum kesalingan kuadratik]].<ref>{{Harvtxt|Gauss|Clarke|1986|loc=Art. 131}}</ref>]]
Dalam [[teori nombor]], '''teorem asas aritmetik''', juga dikenali sebagai '''teorem pemfaktoran unik''' atau '''teorem pemfaktoran perdana unik''', menyatakan yang setiap [[integer]] lebih daripada 1<ref group=nota>Menggunakan [[Hasil darab kosong|hukum hasil darab kosong]] boleh juga tidak dikecualikan angka satu, dan teorem ini boleh dinyatakan sebagai: setiap integer positif mempunyai pemfaktoran perdana tersendiri.</ref> adalah sama ada nombor perdana ataupun hasil darab beberapa [[nombor perdana]], dan hasil darab ini, termasuklah kuasa faktor-faktor, adalah unik untuk semua nombor.<ref>{{harvtxt|Long|1972|p=44}}</ref><ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=53}}</ref><ref>{{Harvtxt|Hardy|Wright|2008|loc=Thm 2}}</ref> Misalnya,

1200 = 2<sup>4</sup> × 3<sup>1</sup> × 5<sup>2</sup> = 3 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 5 × 2 × 3 × 2 × 5 × 2 × 2 = dll.

Teorem ini menyatakan dua perkara: pertama, bahawa 1200 ''boleh'' dinyatakan sebagai hasil darab nombor-nombor perdana, dan kedua, dengan cara apa sekalipun, akan sentiasa ada hanya empat angka 2, satu angka 3, dua angka 5, dan tiada nombor perdana lain dalam hasil darabnya.

Adalah perlu bagi faktor-faktor yang dinyatakan dalam teorem ini bersifat perdana: pemfaktoran dengan [[nombor gubahan]] boleh jadi tidak unik (misalnya, 12 = 2 × 6 = 3 × 4).

Teorem ini adalah salah satu [[Nombor perdana#Keperdanaan satu|sebab utama mengapa 1 tidak dikira sebagai nombor perdana]]: jika 1 adalah nombor perdana, pemfaktoran bagi sebarang nombor tidak akan menjadi unik kerana, sebagai contoh, 2 boleh sama dengan 2&nbsp;×&nbsp;1 dan 2&nbsp;×&nbsp;1&nbsp;×&nbsp;1 dan seterusnya.

==Sejarah==
Buku VII, proposisi 30 dan 32 [[Euclid]]'s [[Euclid's Elements|Elements]] adalah pada dasarnya pernyataan dan bukti bagi teorem asas ini.

{{Petikan|
Jika dua angka dengan mendarabkan satu sama lain membentuk sesuatu

nombor, dan sebarang nombor perdana mengukur hasil darab tersebut, ia akan

juga mengukur salah satu daripada nombor asal.|Euclid|[[#CITEREFEuclidHeath1956|Elements Buku VII]], Proposisi 30}}

Proposisi 30 juga dikenali sebagai [[lema Euclid]], dan ia adalah kunci dalam pembuktian teorem asas aritmetik.

{{Petikan|
Sebarang nombor gubahan diukur oleh beberapa nombor perdana.|Euclid|[[#CITEREFEuclidHeath1956|Elements Buku VII]], Proposisi 31}}

Proposisi 31 diterbitkan daripada proposisi 30.

{{Petikan|
Sebarang nombor adalah sama ada nombor perdana atau diukur oleh beberapa nombor perdana.|Euclid|[[#CITEREFEuclidHeath1956|Elements Buku VII]], Proposisi 32}}

Proposisi 32 diterbitkan daripada proposisi 31.

Artikel 16 ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' [[Carl Freidrich Gauss|Gauss]] adalah pernyataan dan pembuktian moden awal yang menggunakan [[aritmetik modular]].<ref name="Gauss1801.loc=16" />

==Aplikasi==
===Perwakilan kanonik integer positif===
Setiap integer positif ''n''&nbsp;>&nbsp;1 boleh diwakilkan '''dalam hanya satu cara''' sebagai hasil darab nombor perdana dengan kuasa:
:<math>
n
= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}
= \prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}
</math>
di mana {{nowrap begin}}''p''<sub>1</sub> < ''p''<sub>2</sub> < ... < ''p''<sub>k</sub>{{nowrap end}} adalah nombor perdana dan α<sub>''i''</sub> adalah integer positif. Perwakilan ini biasanya dilanjutkan untuk semua integer positif, termasuk satu, melalui persetujuan bahawa [[hasil darab kosong]] adalah sama dengan 1 (hasil darab kosong sepadan dengan ''k''&nbsp;=&nbsp;0).

Perwakilan ini dinamakan '''perwakilan kanonik'''<ref>{{harvtxt|Long|1972|p=45}}</ref> untuk ''n'', atau '''bentuk piawai'''<ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=55}}</ref><ref>{{Harvtxt|Hardy|Wright|2008|loc=§ 1.2}}</ref> bagi ''n''.

:Misalnya 999 = 3<sup>3</sup>&nbsp;&times;&nbsp;37, 1000 = 2<sup>3</sup>&nbsp;&times;&nbsp;5<sup>3</sup>, 1001 = 7&nbsp;&times;&nbsp;11&nbsp;&times;&nbsp;13

Perhatikan bahawa faktor-faktor ''p''<sup>0</sup> = 1 boleh diletakkan tanpa mengubah nilai ''n'' (contohnya, 1000 = 2<sup>3</sup>&nbsp;&times;&nbsp;3<sup>0</sup>&nbsp;&times;&nbsp;5<sup>3</sup>). Malah, sebarang integer positif boleh diwakili secara unik sebagai satu [[hasil darab tak terhingga]] semua nombor perdana positif,

:<math>
n=2^{n_1}3^{n_2}5^{n_3}7^{n_4}\cdots=\prod p_i^{n_i},
</math>

di mana sejumlah terhad ''n''<sub>''i''</sub> adalah integer positif, dan selebihnya adalah sifar. Dengan membolehkan eksponen bernilai negatif, [[nombor nisbah|nombor-nombor nisbah]] positif juga boleh diwakili bentuk kanonik.

===Operasi aritmetik===
Perwakilan kanonik, jika diketahui bentuknya, dapat memudahkan pengiraan hasil darab, [[pembahagi sepunya terbesar]] (gcd) dan [[gandaan sepunya terkecil]] (lcm):
:<math>
a\cdot b
=2^{a_2+b_2}\,3^{a_3+b_3}\,5^{a_5+b_5}\,7^{a_7+b_7}\cdots
=\prod p_i^{a_{p_i}+b_{p_i}},
</math>

:<math>
\gcd(a,b)
=2^{\min(a_2,b_2)}\,3^{\min(a_3,b_3)}\,5^{\min(a_5,b_5)}\,7^{\min(a_7,b_7)}\cdots
=\prod p_i^{\min(a_{p_i},b_{p_i})},
</math>

:<math>
\operatorname{lcm}(a,b)
=2^{\max(a_2,b_2)}\,3^{\max(a_3,b_3)}\,5^{\max(a_5,b_5)}\,7^{\max(a_7,b_7)}\cdots
=\prod p_i^{\max(a_{p_i},b_{p_i})}.
</math>

Namun, oleh sebab [[pemfaktoran integer]] bagi integer-integer besar adalah lebih sukar daripada pengiraan hasil darab, gcd atau lcm angka-angka tersebut, formula-formula di atas tidak banyak digunakan pada praktiknya.

===Fungsi aritmetik===
{{utama|Fungsi aritmetik}}
Pelbagai fungsi aritmetik ditakrifkan menggunakan perlambangan kanonik. Khususnya, nilai-nilai fungsi-fungsi [[fungsi bertambahan|bertambahan]] dan [[fungsi berdaraban|berdaraban]] ditentukan oleh nilai-nilainya pada kuasa nombor-nombor perdana.

==Pembuktian==
Pembuktian ini menggunakan [[lema Euclid]] (''Elements'' VII, 30): jika satu nombor perdana ''p'' [[pembahagi|membahagi]] hasil darab dua [[nombor asli]] ''a'' dan ''b'', maka sama ada ''p'' membahagi ''a'' atau ''p'' membahagi ''b'' (atau kedua-duanya).

===Kewujudan===
Kita perlu tunjukkan yang setiap integer yang lebih besar daripada 1 adalah hasil darab nombor perdana. Melalui aruhan: andaikan hal tersebut adalah benar untuk semua nombor antara 1 dengan ''n''. Jika ''n'' adalah nombor perdana, maka tidak perlu dibuktikan apa-apa lagi (satu nombor perdana adalah hasil darab nombor perdana yang tidak penting, kerana ia hanyalah satu "hasil darab" dengan satu faktor sahaja). Jika tidak, ada terdapat integer ''a'' dan ''b'', di mana ''n''&nbsp;=&nbsp;''ab'', dan 1&nbsp;<&nbsp;''a''&nbsp;≤&nbsp;''b''&nbsp;<&nbsp;''n''. Melalui hipotesis aruhan, ''a''&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>1</sub>''p''<sub>2</sub>...''p''<sub>''j''</sub> dan ''b''&nbsp;=&nbsp;''q''<sub>1</sub>''q''<sub>2</sub>...''q''<sub>''k''</sub> adalah hasil darab nombor-nombor perdana. Tetapi dengan ini ''n''&nbsp;=&nbsp;''ab''&nbsp;= ''p''<sub>1</sub>''p''<sub>2</sub>...''p''<sub>''j''</sub>''q''<sub>1</sub>''q''<sub>2</sub>...''q''<sub>''k''</sub> adalah hasil darab nombor-nombor perdana.

===Keunikan===
Andaikan yang ''s''&nbsp;>&nbsp;1 ialah hasil darab nombor-nombor perdana yang mempunyai dua perwakilan:
:<math>
\begin{align}
s
&=p_1 p_2 \cdots p_m \\
&=q_1 q_2 \cdots q_n.
\end{align}
</math>

Kita perlu tunjukkan bahawa ''m''&nbsp;=&nbsp;''n'' dan ''q''<sub>''j''</sub> adalah susunan semula ''p''<sub>''i''</sub>.

Mengikut [[lema Euclid]], ''p''<sub>1</sub> pasti membahagi salah satu daripada ''q''<sub>j</sub>; labelkan semula ''q''<sub>''j''</sub> jika perlu, katakanlah yang ''p''<sub>1</sub> membahagi ''q''<sub>1</sub>. Tetapi ''q''<sub>1</sub> adalah nombor perdana, maka pembahaginya hanyalah 1 dan angka itu sendiri. Maka, ''p''<sub>1</sub> = ''q''<sub>1</sub>, lantas
:<math>
\begin{align}
\frac{s}{p_1}
&=p_2 \cdots p_m \\
&=q_2 \cdots q_n.
\end{align}
</math>

Menggunakan taakulan yang sama, ''p''<sub>2</sub> pasti sama dengan salah satu daripada ''q''<sub>''j''</sub> yang tinggal. Dengan melabel semula jika perlu, katalah ''p''<sub>2</sub> = ''q''<sub>2</sub>. Kemudian

:<math>
\begin{align}
\frac{s}{p_1 p_2}
&=p_3 \cdots p_m \\
&=q_3 \cdots q_n.
\end{align}
</math>

Ini boleh dilakukan untuk setiap satu ''p''<sub>''i''</sub> ''m'', menunjukkan bahawa ''m'' ≤ ''n'' dan setiap ''p''<sub>''i''</sub> ialah ''q''<sub>''j''</sub>. Dengan menggunakan hujah yang sama dengan <math>p</math> dan <math>q</math> diterbalikkan, boleh ditunjukkan bahawa ''n'' ≤ ''m'' (oleh itu ''m'' = ''n'') dan setiap ''q''<sub>''j''</sub> ialah ''p''<sub>''i''</sub>.

==Nota==
{{reflist}}
{{reflist|group=nota}}

==Rujukan==
''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' telah diterjemah daripada bahasa Latin ke bahasa Inggeris dan Jerman. Edisi bahasa Jerman menyertakan semua hasil kerja beliau dalam teori nombor: semua pembuktian kesalingan kuadratik, penentuan tanda bagi hasil tambah Gauss, kajian berkenaan kesalingan bikuadratik, dan nota-nota yang tidak diterbitkan.
* {{citation
  | last1 = Gauss  | first1 = Carl Friedrich
  | last2 = Clarke | first2 = Arthur A. (penterjemah ke bahasa Inggeris) 
  | title = Disquisitiones Arithemeticae (Edisi kedua dengan pembetulan)
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
  | location = New York
  | year = 1986
  | isbn = 978-0-387-96254-2
  | url = http://www.springer.com/mathematics/algebra/book/978-0-387-96254-2
}}
* {{citation
  | last1 = Gauss  | first1 = Carl Friedrich
  | last2 = Maser | first2 = H. (penterjemah ke bahasa Jerman) 
  | title = Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Edisi kedua)
  | publisher = Chelsea
  | location = New York
  | year = 1965
  | isbn = 0-8284-0191-8}}

Dua monograf yang Gauss telah terbitkan berkenaan kesalingan bikuadratik mempunyai seksyen-seksyen yang dinomborkan secara berturutan: yang pertama mempunyai §§ 1–23 dan yang kedua §§ 24–76. Nota-nota kaki yang merujuk monograf ini dinyatakan dalam bentuk "Gauss, BQ, § ''n''". Nota-nota kaki yang menrujuk ''Disquisitiones Arithmeticae'' dinyatakan dalam bentuk "Gauss, DA, Art. ''n''".
* {{citation
  | last1 = Gauss  | first1 = Carl Friedrich
  | title = Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima
  | publisher = Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6
  | location = Göttingen
  | year = 1828}}
* {{citation
  | last1 = Gauss  | first1 = Carl Friedrich
  | title = Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda
  | publisher = Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7
  | location = Göttingen
  | year = 1832}}

Semua ini terdapat dalam ''Werke'' Gauss, Jilid II, ms. 65–92 dan 93–148; terjemahan Jerman adalah dalam ms. 511–533 dan 534–586 dalam ''Disquisitiones'' edisi Jerman.
* {{Citation
 | last=Baker
 | first=Alan
 | author-link=
 | year=1984
 | title=A Concise Introduction to the Theory of Numbers
 | place=Cambridge, UK
 | publisher=Cambridge University Press
 | isbn=978-0-521-28654-1
}}
* {{citation
  | author1 = Euclid
  | author1-link = Euclid
  | others = Translated by [[Thomas Little Heath]]
  | title = The thirteen books of the Elements
  | edition = Second Edition Unabridged
  | volume = 2 (Books III-IX)
  | publisher = [[Dover]]
  | location = New York
  | year = 1956
  | isbn = 978-0-486-60089-5
  | url = http://store.doverpublications.com/0486600890.html
}}
* {{Hardy and Wright}}
* {{Citation
 | author1 = A. Kornilowicz
 | author2 = P. Rudnicki
 | year = 2004
 | title = Fundamental theorem of arithmetic
 | journal = [[Formalized Mathematics]]
 | volume = 12
 | issue = 2
 | pages = 179–185
}}
* {{citation
 | first1 = Calvin T.
 | last1 = Long
 | year = 1972
 | title = Elementary Introduction to Number Theory
 | edition = 2nd | publisher = [[D. C. Heath and Company]]
 | location = Lexington
 | lccn = 77-171950
}}.
* {{citation
 | first1 = Anthony J.
 | last1 = Pettofrezzo
 | first2 = Donald R.
 | last2 = Byrkit
 | year = 1970
 | title = Elements of Number Theory
 | publisher = [[Prentice Hall]]
 | location = Englewood Cliffs
 | lccn = 77-81766
}}.
* {{citation
  | last1 = Riesel  | first1 = Hans
  | title = Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition)
  | publisher = Birkhäuser
  | location = Boston
  | year = 1994
  | isbn = 0-8176-3743-5}}
* {{mathworld|urlname=AbnormalNumber|title=Abnormal number}}
* {{mathworld|urlname=FundamentalTheoremofArithmetic|title=Fundamental Theorem of Arithmetic}}
[[Kategori:Teorem berkenaan nombor perdana]]
[[Kategori:Teorem asas]]