Lihat sumber bagi Pi

{{Numbers}}

'''Pi''' ({{Jawi|ڤي}}) atau '''pai''' ({{Jawi|ڤاي}}) ialah satu [[pemalar matematik]] digunakan dalam pengiraan [[ruang Euclid]] mewakili nilai [[Nisbah|kadar menisbahkan]] [[ukur lilit]] sesebuah [[bulatan]] kepada [[diameter]]nya, pemalar ini sering digunakan dalam rumusan [[matematik]], [[fizik]] dan [[kejuruteraan]] dengan nama lainnya '''pemalar Archimedes''' (''Archimedes's constant'')<ref name=":2">{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/Pi.html|title=Pi|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2020-08-10}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.scientificamerican.com/article/what-is-pi-and-how-did-it-originate/|title=What Is Pi, and How Did It Originate?|last=Bogart|first=Steven|website=Scientific American|language=en|access-date=2020-08-10}}</ref> atau '''nombor Ludolph'''. Pemalar ini ditandakan dengan [[huruf Yunani]] [[Pi (huruf)|π]] ({{lang-el|πι|pí}}<ref>{{cite dictionary|url=https://www.greek-language.gr/greekLang/modern_greek/tools/lexica/triantafyllides/search.html?lq=%CF%80%CE%B9&dq=|title=πι|dictionary=Dictionary of Standard Modern Greek|year=2008|publisher=Centre for the Greek Language|date=}}</ref>) yang senama bersamaan dengan π ≈ 3.14159, ia pertama kali digunakan ahli matematik [[William Jones]] dari Wales pada tahun 1706.<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/stream/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/Synopsis_Palmariorum_Matheseos#page/n261/mode/1up|title=Synopsis Palmariorum Matheseos : or, a New Introduction to the Mathematics|last=Jones|first=William|year=1706|pages=243, 263|language=en|access-date=15 October 2017|archive-url=https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n283/mode/1up|archive-date=25 March 2012|url-status=live}}</ref>

Nilai pi ini [[nombor bukan nisbah|tidak dapat dinisbahkan]] sebagai nisbah dua [[integer]] penuh apatah lagi [[nombor nyata|dinyatakan]] tepat (dengan 8 [[tempat perpuluhan]]: '''3.14159265'''), kadang-kadang nilai [[pecahan]] {{sfrac|22|7}} digunakan sebagai [[penganggaran]] menghampiri nilai tentu ini. Akibatnya, perwakilan perpuluhannya tidak putus malah membentuk corak berulang secara kekal. Ia bersifat [[Nombor transenden|transenden]] yakni ia tidak boleh menjadi penyelesaian bagi [[persamaan]] yang melibatkan hanya jumlah terhingga, hasil darab, kuasa dan [[integer]]. Transendensi <math>\pi</math> membayangkan bahawa adalah mustahil untuk menyelesaikan cabaran purba untuk mengkuadratkan bulatan dengan [[kompas]] dan [[Garis (geometri)|garis lurus]]. [[Perpuluhan|Digit perpuluhan]] <math>\pi</math>nampaknya diedarkan secara rawak, tetapi tiada bukti [[konjektur]] ini ditemui.

Selama beribu-ribu tahun, [[ahli matematik]] seluruh dunia telah cuba meluaskan pemahaman mereka tentang <math>\pi</math>, kadangkala dengan mengira nilainya kepada tahap ketepatan yang tinggi. Tamadun purba, termasuk [[Bangsa Mesir|orang Mesir]] dan [[Babylon]], memerlukan anggaran <math>\pi</math> yang agak tepat untuk pengiraan praktikal. Sekitar 250 SM, ahli matematik [[Yunani Purba|Yunani]] [[Archimedes]] mencipta [[algoritma]] menganggarkan <math>\pi</math> dengan ketepatan sewenang-wenangnya. Pada abad ke-5 Masihi, ahli matematik [[China|Cina]] menganggarkan <math>\pi</math> kepada [[7 (nombor)|tujuh]] angka, manakala ahli matematik [[India]] membuat anggaran lima angka, kedua-dua pihak menggunakan [[Geometri|teknik geometri]]. Formula pengiraan pertama untuk <math>\pi</math>, berdasarkan [[Siri (matematik)|siri]] [[ketakterhinggaan]], ditemui sealaf kemudian.<ref>{{Cite book|title=Special Functions|first=George E, Askey, Richard, Roy, Ranjan|publisher=Cambridge: University Press|year=1999|isbn=978-0-521-78988-2}}</ref><ref>Gupta, R. C. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". ''Ganita Bharati''. '''14''' (1–4): 68–71.</ref> Penggunaan terawal huruf Yunani <math>\pi</math> yang diketahui untuk mewakili nisbah lilitan bulatan kepada diameternya ialah oleh ahli matematik [[Wales William Jones]] pada tahun 1706.<ref>Jones, William (1706). ''Synopsis Palmariorum Matheseos''</ref>

Penciptaan bidang [[kalkulus]] tidak lama kemudian membawa kepada pengiraan ratusan digit <math>\pi</math>, cukup untuk semua pengiraan saintifik praktikal. Namun begitu, pada abad ke-20 dan ke-21, [[ahli matematik]] dan [[saintis komputer]] telah mengejar pendekatan baharu yang, apabila digabungkan dengan peningkatan kuasa pengiraan, memanjangkan perwakilan perpuluhan <math>\pi</math> kepada sebanyak trilion digit.<ref>{{Cite web|url=https://pi2e.ch/|title=22.4 trillion digits of pi|website=pi2e.ch|access-date=2024-11-30}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud|title=Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes’ constant on Google Cloud|website=Google Cloud Blog|language=en-US|access-date=2024-11-30}}</ref> Pengiraan ini didorong oleh pembangunan algoritma yang cekap untuk mengira siri berangka, serta usaha manusia untuk memecahkan rekod.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com.my/books?id=QwwcmweJCDQC&redir_esc=y|title=Pi - Unleashed|last=Arndt|first=Jörg|last2=Haenel|first2=Christoph|date=2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-66572-4|pages=7|language=en}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Bailey|first=David H.|last2=Plouffe|first2=Simon M.|last3=Borwein|first3=Peter B.|last4=Borwein|first4=Jonathan M.|date=1997-12|title=The quest for PI|url=https://www.semanticscholar.org/paper/The-quest-for-PI-Bailey-Plouffe/c55e2b91e5dff79c8ee5ce2c71942e68dc8ccaf4|journal=The Mathematical Intelligencer|language=en|volume=19|issue=1|pages=50–56|doi=10.1007/BF03024340|issn=0343-6993}}</ref> Pengiraan meluas yang terlibat juga telah digunakan untuk menguji [[superkomputer]] serta menguji tekanan perkakasan [[komputer]] [[pengguna]].

Oleh kerana takrifannya berkaitan dengan bulatan, <math>\pi</math> ditemui dalam banyak [[Rumus|rumusan]] dalam [[trigonometri]] dan [[geometri]], terutamanya yang berkaitan dengan [[bulatan]], [[elips]] dan [[sfera]]. Ia juga ditemui dalam rumusan daripada topik lain dalam [[sains]], seperti [[kosmologi]], [[fraktal]], [[termodinamik]], [[mekanik]] dan [[Keelektromagnetan|elektromagnetisme]]. Ia juga muncul dalam bidang yang mempunyai sedikit kaitan dengan geometri, seperti [[teori nombor]] dan [[statistik]], dan dalam analisis matematik moden boleh ditakrifkan tanpa sebarang rujukan kepada geometri. Keseluruhan <math>\pi</math> menjadikannya salah satu pemalar matematik yang paling terkenal di dalam dan di luar sains. 

Beberapa buku yang dikhaskan untuk <math>\pi</math> telah diterbitkan, dan pengiraan penetapan rekod bagi digit <math>\pi</math> sering menghasilkan tajuk berita.

== Asas ==

=== Nama ===
Simbol yang digunakan oleh ahli matematik untuk mewakili nisbah lilitan bulatan kepada diameternya ialah huruf kecil [[Yunani]] <math>\pi</math>, yang dieja sebagai ''pi''.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com.my/books?id=KTgPAAAAQAAJ&pg=PP3&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=Theorematum in libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario|last=Oughtred|first=William|date=1652|publisher=Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson|language=la}}</ref>

Dalam penggunaan matematik, huruf kecil <math>\pi</math> dibezakan daripada [[huruf besar]]. <small><math>\prod</math></small> menandakan hasil [[darab]] [[jujukan]], sama dengan cara <small><math>\sum</math></small> menandakan [[Tambah|penjumlahan]].

=== Takrifan ===
[[Fail:Circle Properties.png|thumb|<math>C</math> - lilitan bulatan.<math>D</math> - diameter bulatan.

]]
<math>\pi</math> secara lazimnya ditakrifkan sebagai [[nisbah]] lilitan bulatan <math>C</math> kepada [[Diameter|diameternya]] <math>d</math>.<ref name=":0">{{Cite book|url=https://books.google.com.my/books?id=QwwcmweJCDQC&redir_esc=y|title=Pi - Unleashed|last=Arndt|first=Jörg|last2=Haenel|first2=Christoph|date=2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-66572-4|pages=8|language=en}}</ref>

<big><math>\pi = \frac{C}{d}</math></big>

Nisbah <math>C/d</math> adalah malar, tanpa mengira saiz bulatan. Sebagai contoh, jika bulatan mempunyai dua kali diameter bulatan lain, ia juga akan mempunyai dua kali lilitan, mengekalkan nisbah <math>C/d</math>. Definisi <math>\pi</math> ini secara tersirat menggunakan [[geometri Euclid]]; walaupun tanggapan bulatan boleh dilanjutkan ke mana-mana [[geometri bukan Euclid]], bulatan baharu ini tidak lagi memenuhi rumusan <math>\pi = C/d</math>.<ref name=":0" />

Nilai sesuatu [[sudut]] boleh diukur dengan nisbah di antara bahagian lilitan bulatan yang dirangkuminya kepada [[jejari]] bulatan tersebut, yang disebut sebagai unit [[radian]] (simbol ''rad''). Oleh itu sudut 180<sup>o</sup> adalah bersamaan ''π'' rad.

Di bawah, lilitan bulatan ialah panjang [[Lengkung|lengkok]] [[perimeter]] bulatan, suatu [[kuantiti]] yang boleh ditakrifkan secara formal tanpa geometri, menggunakan konsep [[Had (matematik)|had]].<ref>Apostol, Tom (1967). ''Calculus''. Vol. 1 (2nd ed.). Wiley. m/s 102.</ref> Sebagai contoh, anda boleh mengkomput secara langsung panjang lengkung di separuh atas [[bulatan unit]], dalam [[Sistem koordinat|koordinat]] Cartes dengan persamaan, dengan [[kamiran]];<ref name=":1">{{Cite book|url=https://books.google.com.my/books?id=Z53SBwAAQBAJ&pg=PA123&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|title=Numbers|last=Ebbinghaus|first=Heinz-Dieter|last2=Hermes|first2=Hans|last3=Hirzebruch|first3=Friedrich|last4=Koecher|first4=Max|last5=Mainzer|first5=Klaus|last6=Neukirch|first6=Jürgen|last7=Prestel|first7=Alexander|last8=Remmert|first8=Reinhold|date=2012-12-06|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4612-1005-4|pages=129|language=en}}</ref>

<big><math>\pi = \int_{-1}^1 \frac{1}{ \sqrt{1 - x^2} } \, dx</math></big>

Kamiran seperti ini telah dicadangkan sebagai definisi <math>\pi</math> oleh [[Karl Weierstrass]], yang mentakrifkannya secara langsung sebagai kamiran pada tahun 1841.

Kamiran tidak lagi biasa digunakan dalam definisi analitikal pertama kerana, seperti yang dijelaskan dalam ''Remmert 2012'', [[kalkulus pembezaan]] biasanya mendahului kalkulus kamiran dalam [[kurikulum]] [[universiti]], jadi adalah wajar untuk mempunyai definisi <math>\pi</math> yang tidak bergantung pada yang terakhir. Satu definisi sedemikian, disebabkan oleh Richard Baltzer<ref>z6euxk7</ref> dan dipopularkan oleh Edmund Landau<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/dieelementederm02baltgoog|title=Die Elemente der Mathematik|last=Harvard University|date=1870|publisher=G. Hirzel|language=German}}</ref><ref>ctkkyxr</ref>, adalah seperti berikut: ''<math>\pi</math>'' ialah dua kali [[nombor positif]] terkecil di mana fungsi kosinus sama dengan 0.<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref name=":2">{{Cite book|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of mathematical analysis|last=Internet Archive|first=Walter|date=1976|publisher=Auckland ; London : McGraw-Hill|isbn=978-0-07-085613-4}}</ref> <math>\pi</math> juga merupakan nombor positif terkecil di mana [[fungsi]] sinus sama dengan [[0 (nombor)|sifar]], dan perbezaan antara sifar berturut-turut bagi fungsi sinus. Kosinus dan sinus boleh ditakrifkan secara bebas daripada geometri sebagai [[siri kuasa]],<ref>Rudin, Walter (1986). ''Real and complex analysis''. McGraw-Hill. p. 2.</ref> atau sebagai penyelesaian [[persamaan pembezaan]].<ref name=":2" />

Serta itu, <math>\pi</math> boleh ditakrifkan menggunakan sifat eksponen kompleks, <math>\mathrm{exp} \, z</math>, [[Nombor kompleks|pemboleh ubah kompleks]] <math>z</math>. Seperti kosinus, [[eksponen]] kompleks boleh ditakrifkan dalam salah satu daripada beberapa cara. [[Set]] nombor kompleks di mana <math>\mathrm{exp} \, z</math> bersamaan dengan <math>1</math> kemudiannya merupakan janjang aritmetik (khayal) bagi bentuk:

<big><math>\{ \cdots , -2 \pi i , 0 , 2 \pi i , 4 \pi i , \cdots \} = \{ 2 \pi ki \, | \, k \in \mathbb{Z} \} </math></big>

...dan terdapat nombor nyata positif unik ''<math>\pi</math>'' dengan sifat ini.<ref name=":1" /><ref>Ahlfors, Lars (1966). ''Complex analysis''. McGraw-Hill. p. 46.</ref>

Variasi pada idea yang sama, menggunakan konsep matematik yang canggih bagi [[topologi]] dan [[algebra]], ialah teorem berikut:<ref>Bourbaki, Nicolas (1981). ''Topologie generale''. Springer. §VIII.2.</ref> Terdapat [[isomorfisme]] berterusan unik (sehingga [[automorfisme]]) daripada kumpulan '''R/Z''' nombor nyata di bawah integer modulo penambahan (kumpulan bulatan), ke kumpulan pendaraban nombor kompleks [[nilai mutlak]] satu. Nombor <math>\pi</math> kemudiannya ditakrifkan sebagai separuh daripada magnitud terbitan [[Homomorfisma|homomorfisme]] ini.<ref>Bourbaki, Nicolas (1979). ''Fonctions d'une variable réelle'' (in French). Springer. §II.3.</ref>

=== Ketaknisbahan dan Kenormalan ===
<math>\pi</math> ialah [[nombor bukan nisbah]], bermakna ia tidak boleh ditulis sebagai [[Nisbah|nisbah dua integer]]. Pecahan seperti ⁠<math>22/7</math> dan <math>355/113</math> lazimnya digunakan untuk menganggarkan <math>\pi</math>, tetapi tiada pecahan sepunya (nisbah nombor bulat) boleh menjadi nilai tepatnya.<ref>{{Cite web|url=https://unacademy.com/content/question-answer/mathematics/is-pi-a-rational-or-irrational-number/#:~:text=The%20ratio%20of%20the%20circumference,pi%20is%20an%20irrational%20number.|title=Is Pi a Rational or Irrational Number|website=Unacademy|language=en-US|access-date=2024-11-30}}</ref> Oleh kerana <math>\pi</math> adalah tidak bernisbah, ia mempunyai bilangan digit yang tidak terhingga dalam perwakilan perpuluhannya, dan tidak menetap dalam pola digit berulang yang tidak terhingga. Terdapat beberapa bukti bahawa <math>\pi</math> adalah tidak bernisbah; mereka biasanya memerlukan kalkulus dan bergantung pada teknik ''[[reductio ad absurdum]]''. Tahap di mana <math>\pi</math> boleh dianggarkan dengan nombor nisbah tidak diketahui dengan tepat; anggaran telah menetapkan bahawa ukuran tidak nisbah adalah lebih besar atau sekurang-kurangnya sama dengan ukuran <math>e</math> tetapi lebih kecil daripada ukuran [[nombor Liouville]].<ref>{{Cite web|url=https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=9175&option_lang=eng|title=V. Kh. Salikhov, “On the irrationality measure of $\pi$”, Russian Math. Surveys, 63:3 (2008), 570–572|website=www.mathnet.ru|access-date=2024-11-30}}</ref>

Digit-digit <math>\pi</math> tidak mempunyai corak yang jelas dan telah lulus ujian untuk rawak statistik, termasuk ujian untuk kenormalan; sebilangan panjang tak terhingga dipanggil normal apabila semua [[jujukan]] digit yang mungkin (dari mana-mana panjang tertentu) muncul sama kerap. Dugaan bahawa <math>\pi</math> adalah normal masih belum dibuktikan atau disangkal.<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com.my/books?id=QwwcmweJCDQC&redir_esc=y|title=Pi - Unleashed|last=Arndt|first=Jörg|last2=Haenel|first2=Christoph|date=2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-66572-4|pages=22 - 23|language=en}}</ref> 

Sejak kemunculan [[komputer]], sejumlah besar digit <math>\pi</math> telah tersedia untuk melakukan analisis statistik. [[Yasumasa Kanada]] telah melakukan analisis statistik terperinci pada digit perpuluhan <math>\pi</math>, dan mendapati ia konsisten dengan kenormalan; sebagai contoh, frekuensi sepuluh digit 0 hingga 9 tertakluk kepada ujian keertian statistik, dan tiada bukti corak ditemui.<ref>https://books.google.com.my/books?id=QwwcmweJCDQC&redir_esc=y m/s 22, 28 - 30</ref> Mana-mana jujukan digit rawak mengandungi urutan panjang sewenang-wenangnya yang kelihatan bukan rawak, mengikut [[teorem monyet tak terhingga]]. 

Maka, kerana jujukan digit <math>\pi</math> melepasi ujian statistik untuk rawak, ia mengandungi beberapa jujukan digit yang mungkin kelihatan bukan rawak, seperti urutan enam 9 berturut-turut yang bermula pada tempat perpuluhan ke-762 bagi perwakilan perpuluhan <math>\pi</math>.<ref>https://books.google.com.my/books?id=QwwcmweJCDQC&redir_esc=y m/s 3</ref> Ini juga dipanggil "''titik Feynman''", selepas [[Richard Feynman]], walaupun tiada kaitan dengan Feynman diketahui.

=== Transendensi Pi ===
Selain bukan nisbah, <math>\pi</math> juga merupakan [[nombor transenden]], yang bermaksud bahawa ia bukan penyelesaian sebarang [[persamaan]] [[polinomial]] tidak tetap dengan pekali bernisbah, seperti <math>( x^5 / 120) - ( x^3 / 6 ) + x = 0</math>.<ref>https://books.google.com.my/books?id=QwwcmweJCDQC&redir_esc=y m/s 6</ref> Ini berikutan daripada teorem yang dikenali sebagai [[teorem Lindemann–Weierstrass]], yang juga menetapkan transendensi [[E (pemalar)|nombor Euler]].

== Rujukan ==

=== Nota penerangan ===

# Kamiran khusus yang digunakan Weierstrass ialah <math>\pi = \int_{ - \infin }^{ \infin} \frac{1}{ 1 + x^2 } \, dx</math>

==Sumber==
{{Reflist|2}}
{{tunas-matematik}}
{{tunas-geometri}}
[[Kategori:Matematik]]
[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Pemalar]]