Lihat sumber bagi Persamaan pembezaan separa

{{Persamaan pembezaan}}

[[File:Heat eqn.gif|thumb|right|Sebuah paparan berkenaan penyelesaian [[persamaan haba]] pada satah dua dimensi]]
Dalam [[matematik]], '''persamaan pembezaan separa''' ('''PPS''') atau dalam Bahasa Inggeris '''partial differential equation''' ('''PDE''') adalah salah satu [[persamaan pembezaan]] yang mengandungi '''anu''' (''unknown'') [[Kalkulus pelbagai pembolehubah|fungsi pelbagai pemboleh ubah]] dan [[bezaan separa]]. (Ini berlainan daripada [[persamaan pembezaan biasa]], yang mengaitkan dengan fungsi pembolehubah tunggal dan derivatif mereka.) PPS digunakan untuk merumuskan masalah yang melibatkan fungsi-fungsi beberapa pembolehubah, dan sama ada diselesaikan dengan tangan, atau digunakan untuk menghasilkan berkaitan [[model komputer]]. 

PPS boleh digunakan untuk menerangkan pelbagai fenomena seperti [[bunyi]], [[haba]], [[elektrostatik]], [[elektrodinamik]], [[aliran bendalir]], atau [[keanjalan]]. Fenomena fizikal seolah-olah berbeza boleh dirasmikan juga dari segi PPS. Sama seperti persamaan pembezaan biasa selalunya menjadi model [[sistem dinamik]] satu dimensi, persamaan pembezaan separa sering menjadi model [[sistem pelbagai dimensi]]. PPS dapati generalisasi dalam [[persamaan pembezaan separa stokastik]].

== Pengenalan ==
Persamaan pembezaan separa (PPS) adalah persamaan yang melibatkan kadar perubahan berkenaan dengan [[pembolehubah berterusan.]] Kedudukan badan tegar yang dinyatakan oleh enam nombor, tetapi konfigurasi [[air]] diberikan oleh [[pengagihan berterusan]] beberapa parameter, seperti suhu, tekanan, dan sebagainya. Dinamik untuk badan tegar berlaku dalam terhingga dimensi [[ruang konfigurasi]]; dinamik untuk cecair yang berlaku di dalam ruang konfigurasi terhingga dimensi. Perbezaan ini biasanya membuat PPS jauh lebih sukar untuk menyelesaikan daripada [[persamaan pembezaan biasa]] s (ODEs), tetapi di sini sekali lagi akan ada penyelesaian yang mudah untuk masalah lelurus. Domain klasik di mana PPS digunakan termasuk [[akustik]], [[aliran bendalir]], [[elektrodinamik]], dan [[pemindahan haba]].

Satu persamaan pembezaan separa (PPS) untuk fungsi <math>u(x_1, \cdots, x_n)</math> adalah satu persamaan bentuk
: <math>F \left (x_1, \ldots, x_n, u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_n}, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_1}, \ldots, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_n}, \ldots \right) = 0.</math>

Jika ''F'' adalah [[peta Linear|fungsi lelurus]] dari ''u'' dan derivatif, maka PPS dipanggil lelurus. Contoh biasa PPS leluus termasuk [[persamaan haba]], [[persamaan gelombang]], [[persamaan Laplace]], [[persamaan Helmholtz]], [[persamaan Klein-Gordon]], dan [[persamaan Poisson]].

Sebuah relatif PPS yang mudah adalah

: <math>\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = 0.~</math>

Hubungan ini [[implikasi logik | membayangkan]] bahawa fungsi ''u'' (''x'',''y'') adalah bebas daripada ''x''. Walau bagaimanapun, persamaan tidak memberikan sebarang maklumat mengenai pergantungan fungsi pada pembolehubah ''y''. Oleh itu penyelesaian am bagi persamaan ini adalah

: <math>u(x,y) = f(y),</math>

dimana ''f'' adalah fungsi rambang ''y''. Analogi [[persamaan pembezaan biasa]] adalah

: <math>\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}(x) = 0,</math>

yang mempunyai penyelesaian

: <math>u(x) = c,</math>

dimana ''c'' mana-mana nilai [[Pemalar (matematik)|pemalar]]. Kedua-dua contoh yang menunjukkan bahawa penyelesaian am persamaan pembezaan biasa (PPB) jenis kaku melibatkan pemalar sembarangan, tetapi penyelesaian PPS melibatkan fungsi sewenang-wenangnya. Satu penyelesaian yang PPS biasanya tidak [[Keunikan kuantifikasi|unik]]; syarat tambahan umumnya mesti dinyatakan di [[Sempadan (topologi)|sempadan]] di rantau ini di mana penyelesaiannya ditakrifkan. Sebagai contoh, dalam contoh mudah di atas, fungsi ''f(y)'' boleh ditentukan jika ''u'' dinyatakan pada baris ''x'' = 0.

== Kewujudan dan keunikan ==
Walaupun isu kewujudan dan keunikan penyelesaian persamaan pembezaan biasa mempunyai jawapan yang sangat memuaskan dengan [[teori Picard-Lindelof]], yang jauh dari kes bagi persamaan pembezaan separa. [[teorem Cauchy-Kowalevski]] ini menyatakan bahawa [[masalah Cauchy]] bagi apa-apa persamaan pembezaan separa yang pekali [[fungsi analisis|analisis]] dalam fungsi yang tidak diketahui dan derivatif, mempunyai satu penyelesaian analisis sendiri yang unik. Walaupun keputusan ini mungkin kelihatan untuk menjelaskan kewujudan dan keunikan penyelesaian, terdapat contoh-contoh persamaan kebezaan separa lelurus di mana pekali mempunyai derivatif semua tertib (yang bagaimanapun tidak analisis) tetapi yang tidak mempunyai penyelesaian pada semua: lihat [[contoh Lewy|Lewy (1957)]]. Walaupun penyelesaian persamaan pembezaan separa wujud dan unik, namun ia mungkin mempunyai ciri-ciri yang tidak diingini. Kajian matematik soalan-soalan ini biasanya dalam konteks yang lebih berkuasa bagi [[penyelesaian yang lemah]].

Satu contoh bagi perilaku patologi adalah urutan masalahCauchy (bergantung kepada'' n'') bagi [[persamaan Laplace]]
: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,~</math>

dengan [[keadaan sempadan]]

: <math>u(x,0) = 0,</math>
: <math> \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) = \frac{\sin (nx)}{n},</math>

di mana ''n'' adalah integer. Terbitan dari ''u'' berkenaan dengan ''y'' pendekatan 0 [[penumpuan seragam|seragam]] dalam ''x'' sebagai ''n'' meningkat, tetapi penyelesaian adalah

: <math>u(x,y) = \frac{\sinh (ny) \sin (nx)}{n^2}.</math>

Penyelesaian ini menghampiri infiniti jika'' nx'' bukan pelbagai integer π untuk sebarang nilai bukan sifar'' y''. Masalah Cauchy untuk persamaan Laplace yang dipanggil''ill-posed'' atau'' tidak [[masalah well-posed|dikemukakan dengan baik]]'', kerana penyelesaian yang tidak bergantung terus kepada data daripada masalah. Seperti masalah ''ill-posed'' biasanya tidak memuaskan bagi penggunaan fizikal.

== Catatan ==
Dalam PPS, ia adalah perkara biasa untuk menunjukkan terbitan separa menggunakan subskrip. Iaitu:

: <math>u_x = {\partial u \over \partial x}</math>
: <math>u_{xy} = {\partial^2 u \over \partial y\, \partial x} = {\partial \over \partial y } \left({\partial u \over \partial x}\right). </math>

Terutamanya dalam fizik, [[del]] (∇) sering digunakan untuk derivatif ruang, dan <math> \dot u\,,\ddot u\, </math> untuk derivatif masa. Sebagai contoh, [[persamaan gelombang]] (diterangkan di bawah) boleh ditulis sebagai

:<math>\ddot u=c^2\nabla^2u</math> {{pad|2em}}

atau

:<math>\ddot u=c^2\Delta u</math> {{pad|2em}}

dimana Δ adalah [[pengoperasi Laplace]].

== Contoh ==
=== Persamaan haba dalam ruang satu dimensi ===
{{see also|Persamaan haba}}
Persamaan pengaliran haba dalam satu dimensi untuk badan homogen mempunyai 

: <math>u_t = \alpha u_{xx}</math>

dimana ''u''(''t'',''x'') adalah haba, dan α ialah pemalar positif yang menggambarkan kadar penyebaran. Masalah Cauchy untuk persamaan ini terdiri daripada menentukan ''u''(0, ''x'')= ''f''(''x''), di mana ''f''(''x'') adalah fungsi sewenang-wenangnya.

Penyelesaian am bagi persamaan haba boleh didapati dengan kaedah [[pemisahan pembolehubah]]. Beberapa contoh muncul dalam [[persamaan haba]] artikel. Mereka adalah contoh [[siri Fourier]] untuk berkala'' f'' dan [[Fourier]] kerana bukan berkala'' f''. Menggunakan jelmaan Fourier, penyelesaian am bagi persamaan haba mempunyai bentuk

: <math>u(t,x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\xi) e^{-\alpha \xi^2 t} e^{i \xi x} d\xi, \,</math>

dimana ''F'' adalah fungsi sewenang-wenangnya. Untuk memenuhi syarat awal,'' F'' diberikan oleh jelmaan Fourier dari'' f'', iaitu

: <math>F(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \xi x}\, dx. \,</math>

Jika'' f'' merupakan satu sumber haba yang sangat kecil tetapi kuat, maka penting sebelumnya boleh dianggarkan oleh [[pengedaran delta]], didarabkan dengan kekuatan sumber. Untuk sumber yang kekuatan adalah normal kepada 1, hasilnya adalah

: <math> F(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \,</math>

dan penyelesaian persamaan haba yang terhasil adalah

: <math> u(t,x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha \xi^2 t} e^{i \xi x} d\xi. \,</math>

Ini adalah [[kamiran Gaussian]]. Ia boleh dinilai untuk mendapatkan

: <math> u(t,x) = \frac{1}{2\sqrt{\pi \alpha t}} \exp\left(-\frac{x^2}{4 \alpha t} \right). \,</math>

Keputusan ini sepadan dengan ketumpatan kebarangkalian normal bagi'' x'' dengan min 0 dan varian 2α'' t''. Persamaan haba dan [[persamaan penyebaran]] yang sama adalah alat yang berguna untuk mengkaji fenomena rawak.

=== Persamaan gelombang dalam ruang satu dimensi ===
[[Persamaan gelombang]] adalah satu persamaan untuk fungsi yang tidak diketahui ''u'' (''t'', ''x'') dalam bentuk

: <math> u_{tt} = c^2 u_{xx}.</math>

Berikut'' u'' mungkin menggambarkan anjakan rentetan diregangkan dari keseimbangan, atau perbezaan dalam tekanan udara dalam tiub, atau magnitud medan elektromagnet dalam tiub, dan ''c'' adalah nombor yang sepadan dengan halaju gelombang. Masalah Cauchy untuk persamaan ini terdiri dalam menetapkan anjakan awal dan halaju tali atau medium yang lain:

: <math> u(0,x) = f(x),</math>
: <math> u_t(0,x) = g(x),</math>

di mana'' f'' dan'' g'' adalah fungsi sewenang-wenangnya diberikan. Penyelesaian masalah ini diberikan oleh [[formula d'Alembert]]:

: <math> u(t,x) = \tfrac{1}{2} \left[f(x-ct) + f(x+ct)\right] + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(y)\, dy.</math>

Formula ini menunjukkan bahawa penyelesaian di (''t'','' x'') hanya bergantung kepada data pada segmen garis permulaan yang dipotong oleh [[Kaedah ciri-ciri|keluk ciri]]

: <math> x - ct = \text{pemalar,} \quad x + ct = \text{pemalar},</math>

yang telah disediakan ke belakang dari sudut itu. Lengkung ini sesuai dengan isyarat yang menyebarkan dengan halaju ''c'' ke hadapan dan ke belakang. Sebaliknya, pengaruh data pada salah satu diberikan pada garis permulaan merambat dengan halaju terhingga'' c'': tiada kesan di luar segi tiga melalui tempat yang yang pihak adalah keluk ciri. Kelakuan ini adalah sangat berbeza daripada penyelesaian bagi persamaan haba, di mana kesan daripada [[sumber titik]] muncul (dengan amplitud kecil) serta-merta pada setiap titik di ruang angkasa. Penyelesaian yang diberikan di atas adalah juga sah jika ''t''<0, dan formula yang jelas menunjukkan bahawa penyelesaian yang lancar bergantung kepada data: kedua-dua ke hadapan dan ke belakang masalah Cauchy bagi persamaan gelombang yang dikemukakan dengan baik.

=== Persamaan haba yang umum seperti dalam ruang satu dimensi ===
Jika persamaan seperti haba bermakna persamaan dalam bentuk:

:<math> \frac{\partial u}{\partial t} = \hat{H} u +f(x,t) u+g(x,t)</math>

di mana <math> \hat{H}</math> adalah [[pengoperasi Sturm-Liouville]] (Walau bagaimanapun ia harus diperhatikan operator ini mungkin sebenarnya bentuk

:<math> \frac{1}{w(x)} \left(\frac{d}{dx}\left(p(x) \frac{d}{dx}\right)+q(x)\right) </math> 

di mana'' w'' (''x'') adalah rangkap pemberat berkenaan dengan mana fungsi eigen bagi <math> \hat{H} </math> adalah ortogon) dalam koordinat ''x''. Tertakluk kepada syarat sempadan:

: <math>u(x,0)=h(x).</math>

Kemudian:

Jika:

: <math> \hat{H} X_n = \lambda_n X_n </math>
: <math> X_n (a) = X_n (b) =0 </math>
: <math> \dot{a}_n (t) - \lambda_n a_n (t) -\sum_m (X_n f(x,t),X_m) a_m (t) = (g(x,t),X_n) </math>
: <math> a_n(0) = \frac{(h(x),X_n)}{(X_n,X_n)}  </math>
: <math> u(x,t) = \sum_{n} a_n (t) X_n(x)</math>

di mana

: <math> (f,g)=\int_a^b f(x) g(x) w(x) \, dx. </math>

=== Gelombang Sfera ===
Gelombang sfera adalah gelombang yang amplitud hanya bergantung kepada jarak jejarian'' r'' dari pusat [[sumber titik]]. Untuk gelombang itu, persamaan gelombang tiga dimensi mengambil bentuk

: <math>u_{tt} = c^2 \left[u_{rr} + \frac{2}{r} u_r \right].</math>

Ini adalah bersamaan dengan

: <math> (ru)_{tt} = c^2 \left[(ru)_{rr} \right],</math>

dan oleh itu kuantiti ''ru'' memuaskan persamaan gelombang satu dimensi. Oleh itu penyelesaian am bagi gelombang sfera mempunyai bentuk

: <math> u(t,r) = \frac{1}{r} \left[F(r-ct) + G(r+ct) \right],</math>

di mana'' F'' dan ''G'' adalah benar-benar fungsi sewenang-wenangnya. Sinaran daripada antena sepadan dengan kes di mana'' G'' adalah sifar. Oleh itu bentuk gelombang yang dipancarkan dari antena tidak mempunyai penyelewengan dalam masa: satu-satunya faktor memesongkan adalah 1/''r''. Ciri penyebaran tidak terpesong gelombang tidak hadir jika terdapat ruang dua dimensi.

=== Persamaan Laplace dalam dua dimensi ===
[[Persamaan Laplace]] untuk fungsi yang tidak diketahui bagi dua pembolehubah φ mempunyai bentuk
: <math>\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = 0.</math>

Penyelesaian persamaan Laplace dipanggil [[fungsi harmonik]].

==== Hubungan dengan fungsi holomorfik ====
Penyelesaian persamaan Laplace dalam dua dimensi yang berkait rapat dengan fungsi analisis pembolehubah kompleks (juga dikenali sebagai fungsi holomorfik): bahagian nyata dan khayalan apa-apa fungsi analisis adalah fungsi '''konjugat harmonik''': kedua-dua fungsi memenuhi persamaan Laplace , dan kecerunan fungsi ortogon. Jika ''f''=''u''+''iv'', maka [[persamaan Cauchy-Riemann]] menyatakan bahawa

: <math>u_x = v_y, \quad v_x = -u_y,\,</math>

dan diikuti dengan
: <math>u_{xx} + u_{yy} = 0, \quad v_{xx} + v_{yy}=0. \,</math>

Sebaliknya, memberi apa-apa fungsi harmonik dalam dua dimensi, ia adalah sebahagian sebenar fungsi analisis, sekurang-kurangnya dalam cara tersendiri. Butir-butir yang lain diberikan dalam [[persamaan Laplace]].

==== Sebuah masalah nilai sempadan biasa ====
Sebuah masalah biasa bagi persamaan Laplace adalah untuk mencari penyelesaian yang memenuhi nilai sewenang-wenangnya di sempadan sebuah [[Domain (analisis matematik)|domain]]. Sebagai contoh, kita boleh mendapatkan fungsi harmonik yang mengambil nilai-nilai'' u''(θ) pada bulatan berjejari satu. Penyelesaian telah diberikan oleh [[Simeon Denis Poisson|Poisson]]:

: <math>\varphi(r,\theta) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1-r^2}{1 +r^2 -2r\cos (\theta -\theta')} u(\theta')d\theta'.\,</math>

Petrovsky (1967, p.&nbsp;248) menunjukkan bagaimana formula ini boleh diperolehi dengan menjumlahkan [[siri Fourier]] untuk φ. Jika'' r''<1, derivatif φ boleh dikira dengan membezakan di bawah tanda penting, dan satu boleh mengesahkan φ yang dianalisis, walaupun ''u'' adalah berterusan tetapi tidak semestinya berbeza. Kelakuan ini adalah khas untuk penyelesaian [[persamaan pembeza separa eliptik]]: penyelesaian yang boleh menjadi lebih lancar daripada data sempadan. Ini berbeza dengan penyelesaian berkenaan [[persamaan gelombang]], dan lebih umum [[persamaan pembezaan separa hiperbola]], yang biasanya tidak mempunyai lebih [[terbitan (matematik)]] daripada data.

=== Persamaan Euler-Tricomi ===
The [[persamaan Euler-Tricomi]] yang digunakan dalam penyiasatan [[transonik]] aliran.

: <math>u_{xx} =xu_{yy}.</math>

=== Persamaan olahan ===
The [[persamaan olahan]] menerangkan pengangkutan yang ψ skalar dipelihara dalam bidang halaju'' 'u''' = (''u'', ''v'', ''w''). Ia adalah:

: <math>\psi_t+(u\psi)_x+(v\psi)_y+(w\psi)_z=0.</math>

Jika medan halaju adalah [[solenoidal]] (iaitu, ∇⋅'''u'''), maka persamaan itu boleh dipermudahkan kepada

: <math>\psi_t+u\psi_x+v\psi_y+w\psi_z=0.</math>

Dalam kes satu dimensi di mana ''u'' tidak berterusan dan adalah sama dengan ψ, persamaan yang disebut sebagai [[persamaan Burger]].

=== Persamaan Ginzburg-Landau ===
The [[Ginzburg-Landau persamaan]] yang digunakan dalam model [[superconductivity]]. Ia adalah

: <math>iu_t+pu_{xx} +q|u|^2u=i\gamma u</math>

mana ''p'',''q'' ∈ '''C''' dan γ ∈ '''R''' adalah pemalar dan ''i'' adalah unit khayalan.

=== Persamaan Dym ===
[[Persamaan Dym]] dinamakan sempena nama [[Harry Dym]] dan berlaku dalam kajian [[soliton]]. Ia adalah

: <math>u_t \, = u^3u_{xxx}.</math>

=== Masalah nilai awal sempadan ===
{{Main|Sempadan masalah nilai}}

Banyak masalah-masalah [[matematik fizik]] dirumuskan sebagai masalah nilai awal sempadan.

==== Getaran tali ====
Jika tali diregangkan antara dua titik di mana ''x''= 0 dan ''x''=''L'' dan ''u' menandakan amplitud anjakan tali, maka ''u'' memuaskan persamaan gelombang satu dimensi di rantau ini di mana 0 < ''x'' < ''L'' dan ''t'' adalah tidak terhad. Sejak tali itu terikat di hujung, ''u'' juga mesti memenuhi syarat-syarat sempadan

: <math> u(t,0)=0, \quad u(t,L)=0,</math>

serta keadaan awal

: <math> u(0,x)=f(x), \quad u_t(0,x)=g(x).</math>

Kaedah pemisahan pembolehubah bagi persamaan gelombang

: <math> u_{tt} = c^2 u_{xx}, \,</math>

membawa kepada penyelesaian bentuk

: <math> u(t,x) = T(t) X(x),\,</math>

di mana

: <math> T'' + k^2 c^2 T=0, \quad X'' + k^2 X=0,\,</math>

di mana pemalar ''k'' mesti ditentukan. Keadaan sempadan seterusnya membayangkan bahawa ''X'' adalah pelbagai sin ''kx'', dan ''k'' mesti mempunyai bentuk

: <math> k= \frac{n\pi}{L},</math>

di mana ''n'' adalah integer. Setiap istilah dalam jumlah yang sepadan dengan mod getaran tali. Mod dengan ''n''= 1 dipanggil mod asas, dan kekerapan kaedah lain semua gandaan frekuensi ini. Mod itu membentuk [[siri nada lampau]] tali, dan mereka adalah asas untuk akustik muzik. Keadaan awal kemudian boleh berpuas hati dengan mewakili ''f'' dan ''g'' sebagai jumlah mod yang tidak terhingga. Instrumen angin biasanya sesuai dengan getaran kolum udara dengan satu hujung terbuka dan satu hujung ditutup. Keadaan sempadan adalah sama

: <math>X(0) =0, \quad X'(L) = 0.</math>

Kaedah pemisahan pembolehubah juga boleh digunakan dalam kes ini, dan ia membawa kepada satu siri nada ganjil.

Masalah umum jenis ini diselesaikan dalam [[teori Sturm-Liouville]].

==== Getaran membran ====
Jika membran itu menjangkau lebih keluk ''C'' yang membentuk sempadan domain ''D'' dalam pesawat, getaran yang ditadbir oleh persamaan gelombang

: <math> \frac{1}{c^2} u_{tt} = u_{xx} + u_{yy},</math>

jika ''t''>0 dan (''x'',''y'') is in ''D''. Keadaan sempadan adalah ''u(t,x,y)'' = 0 jika ''(x,y)'' adalah pada ''C''. Kaedah pemisahan pembolehubah membawa kepada bentuk

: <math> u(t,x,y) = T(t) v(x,y),</math>

yang seterusnya mesti memenuhi

: <math> \frac{1}{c^2}T'' +k^2 T=0,</math>
: <math> v_{xx} + v_{yy} + k^2 v =0.</math>

Persamaan kedua dipanggil [[persamaan Helmholtz]]. Pemalar ''k'' mesti ditentukan untuk membenarkan ''v'' bukan trivial untuk memenuhi keadaan sempadan pada ''C''. Nilai apa-apa ''k''<sup>2</sup> dipanggil eigen Laplace dalam ''D'', dan penyelesaian yang bersekutu adalah fungsi eigen bagi Laplace dalam ''D''. Teori Sturm-Liouville boleh dilanjutkan kepada masalah nilai eigen eliptik (Jost, 2002).

=== Contoh lain ===
The [[persamaan Schrödinger]] adalah PPS di tengah-tengah tak kerelatifan [[mekanik kuantum]]. Dalam [[anggaran WKB]], ia adalah [[persamaan Hamilton-Jacobi]].

Kecuali bagi persamaan Dym dan persamaan Ginzburg-Landau, persamaan di atas adalah '''lelurus''' dalam erti kata bahawa persamaan itu boleh ditulis dalam bentuk ''Au'' = ''f'' untuk diberikan [[operator lelurus]] ''A'' dan fungsi yang diberikan ''f''. Persamaan bukan lelurus lain yang penting termasuk [[persamaan Navier-Stokes]] yang menerangkan aliran cecair, dan [[persamaan medan Einstein|persamaan bidang]] [[Albert Einstein|Einstein]] dari [[relativiti umum]].

Lihat juga [[senarai persamaan pembezaan separa bukan lelurus]].

== Klasifikasi ==
Beberapa persamaan pembezaan lelurus, tertib keduat separa boleh diklasifikasikan sebagai [[persamaan pembezaan separa parabolik|parabola]], [[persamaan pembezaan separa hiperbola|hiperbola]] dan [[persamaan pembeza separa eliptik|eliptik]]. Lain-lain seperti [[persamaan Euler-Tricomi]] mempunyai pelbagai jenis di kawasan-kawasan yang berbeza. Klasifikasi menyediakan panduan kepada syarat-syarat awal dan sempadan yang sesuai, dan untuk kelancaran penyelesaian.

=== Persamaan tertib pertama ===

{{Main|persamaan pembezaan separa tertib pertama}}

=== Persamaan tertib kedua ===
Dengan mengandaikan <math> u_ {} = xy u_ yx {} </math>, tertib kedua umum PPS dalam dua pembolehubah bebas mempunyai bentuk

: <math>Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots \mbox{(terma tertib rendah)} = 0,</math>

di mana pekali ''A'', ''B'', ''C'' dan lain-lain boleh bergantung kepada'' x'' dan'' y''. Jika <math>A^2 +B^2 + C^2 > 0</math>> melebih kawasan satah xy, PPS adalah tertib kedua di rantau itu. Bentuk ini adalah mirip kepada persamaan untuk bahagian kon:

: <math>Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0.</math>
Lebih tepat lagi, menggantikan ∂ <sub>''x''</sub> oleh'' X'', dan begitu juga bagi pembolehubah lain (secara rasmi ini dilakukan oleh [[Fourier]]), menukarkan malar pekali PPS menjadi polinomial tahap yang sama, dengan tahap tertinggi ([[polinomial seragam]], di sini [[bentuk kuadratik|berbentuk kuadratik]]) yang paling penting untuk klasifikasi.

Sama seperti mengklasifikasikan [[seksyen kon]] dan bentuk kuadratik ke parabolik, hiperbolik dan eliptik berdasarkan [[pembeza]] <math>B^2 - 4AC</math>, yang sama boleh dilakukan untuk kali tertib kedua PPS pada titik yang diberikan. Walau bagaimanapun, [[pembeza]] dalam PPS diberikan oleh <math>B^2 - AC,</math> kerana konvensyen dari terma ''xy'' menjadi 2''B'' bukan'' B''; secara rasmi, pembeza (bentuk kuadratik bersekutu) adalah <math>(2B)^2 - 4AC = 4(B^2-AC),</math> dengan faktor 4 digugurkan kesederhanaan.

# <math>B^2 - AC < 0</math>: penyelesaian [[persamaan pembeza separa eliptik|PPS eliptik]] adalah mudah seperti pekali membenarkan, dalam kawasan dalaman di kawasan di mana persamaan dan penyelesaian yang ditakrifkan . Sebagai contoh, penyelesaian persamaan Laplace adalah analisis dalam domain di mana mereka yang ditakrifkan, tetapi penyelesaian boleh menganggap nilai sempadan yang tidak mudah. Gerakan cecair pada kelajuan subsonik boleh dianggarkan dengan PPS eliptik, dan persamaan Euler-Tricomi adalah eliptik mana ''x''<0.
# <math>B^2 - AC = 0</math>: persamaan [[persamaan pembezaan separa parabolik|parabola]] pada setiap titik boleh diubah kepada bentuk yang mirip kepada [[persamaan haba]] oleh perubahan pembolehubah bebas. Penyelesaian meratakan sebagai masa berubah pembolehubah bertambah. Persamaan Euler-Tricomi mempunyai jenis parabola pada baris di mana'' x''=0.
# <math>B^2 - AC > 0 </math>: persamaan [[persamaan pembezaan separa hiperbola|hiperbola]] menyimpan apa-apa kecacatan fungsi atau derivatif dalam data awal. Satu contoh ialah [[persamaan gelombang]]. Gerakan cecair pada kelajuan supersonik boleh dianggarkan dengan PPS hiperbola, dan persamaan Euler-Tricomi adalah hiperbola mana'' x''>0.

Jika terdapat'' n'' pembolehubah bebas ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2 </sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>, persamaan kebezaan separa lelurus umum tertib kedua mempunyai bentuk

: <math>L u =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \quad \text{ tambah dengan terma tertib rendah} =0.</math>

Klasifikasi bergantung kepada simbol eigen matriks pekali ''a<sub>i, j</sub>''.

# Elips: Eigen semua positif atau semua negatif.
# Parabolik: Eigen semua positif atau negatif, kecuali satu nombor iaitu sifar.
# Hiperbolik: Hanya ada satu nilai eigen negatif dan semua yang lain adalah positif, atau hanya ada satu nilai eigen positif dan semua yang lain adalah negatif.
# Ultrahiperbolik: Terdapat lebih daripada satu nilai eigen positif dan lebih daripada satu nilai eigen negatif, dan tidak ada nilai eigen sifar. Hanya ada teori yang terhad untuk persamaan ultrahiperbolik (Courant dan Hilbert, 1962).

=== Sistem persamaan tertib pertama dan permukaan ciri ===
Pengelasan persamaan pembezaan separa boleh diperluaskan kepada sistem persamaan tertib pertama, di mana yang tidak diketahui'' u'' kini merupakan vektor dengan'' m'' komponen, dan matriks pekali'' A''<sub>ν</sub> adalah'' m'' oleh'' m'' matriks untuk ν=1, ...,'' n''. Persamaan pembezaan separa mengambil bentuk


: <math>Lu = \sum_{\nu=1}^{n} A_\nu \frac{\partial u}{\partial x_\nu} + B=0,</math>

di mana matriks pekali'' A'' <sub>ν</sub> dan vektor'' B'' boleh bergantung kepada'' x'' dan'' u''. Jika permukaan hiper'' S'' diberikan dalam bentuk yang tersirat

: <math>\varphi(x_1, x_2, \ldots, x_n)=0, \,</math>

φ di mana mempunyai kecerunan bukan sifar, maka'' S'' adalah permukaan ciri''' a''' bagi pengendali'' L'' pada titik yang diberikan jika bentuk ciri terhapus:

: <math>Q\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_1}, \ldots,\frac{\partial\varphi}{\partial x_n}\right) =\det\left[\sum_{\nu=1}^nA_\nu \frac{\partial \varphi}{\partial x_\nu}\right]=0.\,</math>

Tafsiran geometri keadaan ini adalah seperti berikut: jika data untuk'' u'' yang ditetapkan di permukaan'' S'', maka ia boleh menjadi mungkin untuk menentukan terbitan biasa'' u'' pada'' S'' dari persamaan pembezaan. Jika data pada'' S'' dan persamaan pembezaan menentukan terbitan biasa'' u'' pada'' S'', maka'' S'' adalah bukan ciri. Jika data pada'' S'' dan persamaan pembezaan'' tidak'' menentukan terbitan biasa'' u'' pada'' S'', maka permukaan adalah ''' ciri''', dan persamaan pembezaan menghadkan data'' S'': persamaan pembezaan adalah'' dalaman'' kepada'' S''.

# Satu sistem tertib pertama'' Lu''=0 adalah'' eliptik'' jika tiada permukaan adalah ciri-ciri untuk'' L'': nilai-nilai'' u'' pada'' S'' dan persamaan pembezaan sentiasa menentukan terbitan biasa'' u'' pada'' S''.
# Satu sistem tertib pertama adalah'' hiperbola'' di titik jika terdapat permukaan '''seperti ruang''' ''S'' dengan ξ biasa pada ketika itu. Ini bermakna, diberi sebarang vektor bukan remeh η ortogon kepada ξ, dan penggandaan skalar λ, persamaannya

::<math> Q(\lambda \xi + \eta) =0,</math>

mempunyai'' m'' punca nyata λ<sub>1 </sub>, λ<sub>2</sub>, ..., λ<sub>''m''</sub>. Sistem ini '''sepenuhnya hiperbola''' jika punca ini sentiasa berbeza. Tafsiran geometri keadaan ini adalah seperti berikut: Bentuk ciri'' Q''(ζ)=0 mentakrifkan kon (kon normal) dengan koordinat homogen ζ. Dalam kes hiperbola, kon ini mempunyai'' m'' kepingan, dan paksi ζ=λξ bergerak di dalam lembaran ini: ia tidak bertemu apa-apa daripada kon. Tetapi apabila dipindahkan dari asal oleh η, paksi ini bersilang setiap lembaran. Dalam kes eliptik, kon biasa tidak mempunyai kepingan sebenar.

=== Persamaan jenis campuran ===
Jika PPS mempunyai pekali yang tidak tetap, PPS adalah mungkin bahawa tidak akan memihak kepada mana-mana kategori ini tetapi menjadi '''jenis campuran'''. Satu contoh yang mudah tetapi penting adalah persamaan Euler-Tricomi

: <math>u_{xx} \, = xu_{yy},</math>

yang dipanggil '''hiperbola eliptik''' kerana ia adalah eliptik di rantau ''x''<0 ini, hiperbola di rantau ''x''>0 ini, dan merosot parabola pada baris ''x''=0.

=== PPS tertib terhingga dalam mekanik kuantum ===
[[Pengkuantuman Weyl]] dalam ruang fasa membawa kepada [[Kaedah ciri-ciri kuantum|persamaan kuantum Hamilton]] untuk trajektori zarah kuantum. Mereka adalah persamaan PPS tertib terhingga. Walau bagaimanapun, dalam perkembangan semiklasik mempunyai sistem terhingga PPB di mana-mana tertib tetap <math>\hbar</math>. Persamaan evolusi [[fungsi Wigner]] adalah bukan tertib terhingga PPS juga. Trajektori kuantum adalah [[Kaedah ciri-ciri kuantum|ciri-ciri kuantum]] dengan penggunaan yang mana satu boleh mengira evolusi fungsi Wigner itu.

== Kaedah analisis untuk menyelesaikan PPS ==

=== Pengasingan pembolehubah ===
{{Main|persamaan pembezaan separa diasingkan}}
PPS Linear boleh dikurangkan kepada sistem persamaan pembezaan biasa dengan teknik yang penting pemisahan pembolehubah. Logik teknik ini boleh mengelirukan apabila kenalan pertama, tetapi ia bergantung kepada keunikan penyelesaian kepada persamaan pembezaan: seperti ODEs, jika seseorang itu boleh mencari apa-apa penyelesaian yang menyelesaikan persamaan dan memenuhi syarat-syarat sempadan, maka ia adalah penyelesaian. Kami menganggap sebagai [[ansatz]] bahawa pergantungan penyelesaian di ruang dan masa boleh ditulis sebagai hasil daripada terma-terma yang sama bergantung kepada koordinat tunggal, dan kemudian melihat jika dan bagaimana ini boleh dibuat untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Dalam kaedah [[pemisahan pembolehubah]], salah satu mengurangkan PPS kepada PPS lebih sedikit pembolehubah, yang merupakan [[persamaan pembezaan biasa|PPB]] jika dalam satu pembolehubah - ini pula lebih mudah untuk menyelesaikan.

Ini tidak mustahil bagi PPS yang mudah, yang dikenali sebagai [[persamaan pembezaan separa diasingkan], dan domain biasanya segi empat tepat (produk selang). PPS diasingkan sesuai dengan [[matriks pepenjuru]] - memikirkan "nilai untuk tetap'' x''" seperti koordinat, setiap koordinat boleh difahami secara berasingan.

Ini generalisasi kepada [[kaedah ciri-ciri]], dan juga digunakan dalam [[perubahan kamiran]].

=== Kaedah ciri-ciri ===
{{Main|Kaedah ciri-ciri}}
Dalam kes-kes khas, seseorang itu boleh mencari lengkung ciri yang persamaan mengurangkan kepada PPB - perubahan koordinat dalam domain untuk meluruskan lengkung ini membolehkan pemisahan pembolehubah, dan dipanggil [[kaedah ciri-ciri]].

Secara amnya, seseorang boleh mencari permukaan ciri.

=== Perubahan kamiran ===
Satu [[perubahan kamiran]] boleh mengubah PPS kepada yang mudah, khususnya PPS diasingkan. Ini sepadan dengan mempepenjurukan pengendali.

Satu contoh penting ini adalah [[analisis Fourier]], yang mempepenjurukan persamaan haba menggunakan [[eigenbasis]] gelombang sinusoidal.

Jika domain adalah terhad atau berkala, sejumlah penyelesaian yang tidak terhingga seperti [[siri Fourier]] adalah sesuai, tetapi penting bagi penyelesaian seperti [[kamiran Fourier]] secara amnya diperlukan untuk domain terbatas. Penyelesaian untuk titik punca bagi persamaan haba yang diberikan di atas adalah satu contoh bagi penggunaan kamiran Fourier.

=== Perubahan pembolehubah ===

Selalunya PPS boleh dikurangkan kepada satu bentuk mudah dengan penyelesaian yang dikenali oleh [[Perubahan pembolehubah (PPS)|perubahan pembolehubah]]. Sebagai contoh PPS [[Black-Scholes#Perolehan|Black-Scholes]]

:<math> \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0 </math>

adalah dikurangkan kepada [[persamaan haba]]

:<math> \frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>

dengan perubahan pembolehubah (untuk maklumat lengkap lihat [https://web.archive.org/web/20080411030405/http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/Teaching/MathematicalFinance/Lessons/BlackScholes/Solution/solution.shtm Penyelesaian Persamaan Black Scholes])

:<math> V(S,t) = K v(x,\tau)</math>
:<math> x = \ln\left(\tfrac{S}{K} \right) </math>
:<math> \tau = \tfrac{1}{2} \sigma^2 (T - t)  </math>
:<math> v(x,\tau)=\exp(-\alpha x-\beta\tau) u(x,\tau).</math>

=== Penyelesaian asas ===
{{Main|penyelesaian asas}}
Persamaan tak homogen selalunya boleh diselesaikan (bagi PPS pekali malar, sentiasa diselesaikan) dengan mencari [[penyelesaian asas]] (penyelesaian untuk sumber titik), kemudian mengambil [[kekusutan]] dengan syarat-syarat sempadan untuk mendapatkan penyelesaian .

Ini adalah mirip dalam [[pemprosesan isyarat]] untuk memahami penapis oleh itu [[sambutan dedenyut]].

=== Prinsip Tindihan ===
Kerana apa-apa [[Prinsip Tindihan | tindihan]] penyelesaian daripada lelurus, homogen PPS sekali lagi penyelesaian, penyelesaian yang tertentu, maka boleh digabungkan untuk mendapatkan penyelesaian yang lebih umum.

=== Kaedah persamaan bukan lelurus ===
:.'' Lihat juga [[senarai persamaan kebezaan separa lelurus]]''

Tiada kaedah umum yang terpakai untuk menyelesaikan PPS bukan lelurus. Namun, kewujudan dan keunikan keputusan (seperti [[Cauchy-Kowalevski teorem]]) sering mungkin, adalah bukti kualitatif yang penting dan ciri-ciri kuantitatif penyelesaian (mendapat keputusan ini adalah sebahagian besar daripada [[analisis matematik | analisis] ]). Penyelesaian pengiraan kepada PPS lelurus, yang [[kaedah split-langkah]], wujud untuk persamaan tertentu seperti [[persamaan Schrödinger lelurus]].

Walau bagaimanapun, beberapa teknik boleh digunakan untuk beberapa jenis persamaan. The [[h-prinsip]] adalah kaedah yang paling berkesan untuk menyelesaikan [[sistem Underdetermined | underdetermined]] persamaan. The [[Riquier-Janet teori]] adalah satu kaedah yang berkesan untuk mendapatkan maklumat tentang banyak analisis [[sistem Overdetermined | overdetermined]] sistem.

The [[kaedah ciri]] ([[kaedah jelmaan persamaan]]) boleh digunakan dalam kes-kes yang sangat istimewa untuk menyelesaikan persamaan pembezaan separa.

Dalam beberapa kes, PPS boleh diselesaikan melalui [[analisis pengusikan]] di mana penyelesaian yang dianggap sebagai pembetulan kepada satu persamaan dengan penyelesaian yang diketahui. Alternatif adalah teknik [[analisis berangka]] dari skim mudah [[beza terhingga]] untuk yang[[multigrid]] lebih matang dan [[kaedah unsur terhingga]]. Banyak masalah yang menarik dalam bidang sains dan kejuruteraan diselesaikan dengan cara ini menggunakan [[komputer]], kadang-kadang [[Supercomputer]] prestasi tinggi.

=== Kaedah kumpulan Lie ===
Dari tahun 1870 kerja [[Sophus Lie]] berkenaan teori persamaan pembezaan di atas landasan yang lebih memuaskan. Dia menunjukkan bahawa teori-teori integrasi ahli matematik lebih tua juga boleh, kini dikenali sebagai [[kumpulan Lie]], dirujuk kepada sumber yang sama, dan bahawa persamaan pembezaan biasa yang mengakui [[transformasi sangat kecil]] yang sama membentangkan kesukaran setanding integrasi. Beliau juga menekankan subjek [[hubungan transformasi|transformasi hubungan]].

Satu pendekatan umum untuk menyelesaikan PPS ini menggunakan sifat simetri persamaan pembezaan, penyelesaian [[transformasi sangat kecil]]yang berterusan kepada penyelesaian ([[teori Lie]]). [[Kumpulan teori]]yang berterusan, [[aljabar Lie]] dan [[geometri kebezaan]] yang digunakan untuk memahami struktur persamaan kebezaan separa lelurus dan bukan lelurus untuk menjana persamaan terkamir, untuk mencari [[pasanngan Lax]], pengendali rekursi, [[perubahan Bäcklund]] dan akhirnya mencari penyelesaian analisis yang tepat kepada PPS.

Kaedah simetri telah diiktiraf untuk mengkaji persamaan pembezaan yang timbul dalam matematik, fizik, kejuruteraan dan pelbagai bidang lain.

=== Kaedah Semianalitikel ===
[[Kaedah penguraian adomian]], kaedah parameter kecil tiruan [[Aleksandr Lyapunov|Lyapunov]], dan [[kaedah pengusikan homotopi]]nya adalah semua kes-kes khas yang lebih umum [[kaedah analisis homotopi]]. Ini adalah kaedah pengembangan siri, dan kecuali untuk kaedah Lyapunov, adalah bebas daripada parameter fizikal kecil berbanding dengan [[teori usikan]] yang terkenal, sekali gus memberi kaedah ini lebih banyak fleksibiliti dan keluasan penyelesaian.

== Kaedah berangka untuk menyelesaikan PPS ==
Ketiga-tiga kaedah yang paling banyak digunakan berangka untuk menyelesaikan PPS adalah [[analisis unsur terhingga|kaedah unsur terhingga]] (KUT), [[kaedah isipadu terhingga]] (KIT) dan [[kaedah perbeza terhingga]] (KPT). KUT mempunyai kedudukan yang menonjol di kalangan kaedah ini dan terutamanya versi tertib yang lebih tinggi yang sangat cekap [[hp-KUT]]. Versi lain KUT termasuk kaedah unsur terhingga umum (KUTU), [[lanjutan kaedah unsur terhingga]] (LKUT), [[kaedah unsur spektral|kaedah unsur terhingga spektrum]] (KUTS), [[kaedah Meshfree|kaedah unsur Meshfree terhingga]], [[kaedah selanjar Galerkin|kaedah unsur selanjar Galerkin terhingga]] (KUSGT), [[kaedah Galerkin bebas unsur]] (KGBU), [[kaedah Galerkin bebas unsur penentudalaman]] (KGBUP), dan lain-lain

=== Kaedah unsur terhingga ===
{{Main|Kaedah unsur terhingga}}
Kaedah unsur terhingga (KUT) (permohonan praktikal sering dikenali sebagai analisis unsur terhingga (AUT)) adalah satu teknik berangka bagi mencari penyelesaian anggaran persamaan pembezaan separa (PPS) serta persamaan penting. Pendekatan penyelesaian adalah berdasarkan sama ada kepada menghapuskan persamaan pembezaan sepenuhnya (masalah keadaan mantap), atau memberikan PPS ke dalam sistem yang hampir persamaan pembezaan biasa, kemudiannya bersepadu berangka menggunakan teknik yang standard seperti kaedah Euler, Runge-Kutta, dan lain-lain

=== Kaedah perbezaan terhingga ===
{{Main|Kaedah perbezaan terhingga}}
Kaedah perbezaan terhingga adalah kaedah berangka bagi hampir penyelesaian kepada persamaan pembezaan menggunakan persamaan perbezaan terhingga dengan derivatif anggaran.

=== Kaedah isipadu terhingga ===
{{Main|kaedah isipadu terhingga}}
Sama dengan kaedah perbezaan terhingga atau kaedah unsur terhingga, nilai-nilai yang dikira di tempat-tempat berasingan pada geometri dihancurkan. "Jumlah terhingga" merujuk kepada jumlah yang kecil sekitar setiap titik nod pada jaringan a. Dalam kaedah isipadu terhingga, kamiran permukaan persamaan pembezaan separa yang mengandungi istilah perbezaan ditukar kepada kamiran jumlah, dengan menggunakan teorem kecapahan. Istilah ini kemudian dinilai sebagai fluks di permukaan setiap jumlah terbatas. Kerana fluks memasuki jumlah yang diberikan adalah sama dengan yang meninggalkan jumlah bersebelahan, kaedah ini adalah konservatif.

== Lihat juga ==
* [[Masalah nilai sempadan]]
* [[Persamaan perbezaan]]
* [[Keadaan sempadan Dirichlet]]
* [[Penjelmaan digunakan untuk persamaan pembezaan]]
* [[Senarai topik sistem dinamik dan persamaan pembezaan]]
* [[Persamaan pembezaan Matrix]]
* [[Keadaan sempadan Neumann]]
* [[Persamaan pembezaan separa berangka]]
* [[Persamaan pembezaan biasa]]
* [[Persamaan pembezaan separa aljabar]]
* [[Keadaan sempadan Robin]]
* [[Pengasingan pembolehubah]]
* [[Persamaan pembezaan separa Stochastic]]
* [[Proses Stochastic dan masalah nilai sempadan]]
* [[Gelombang]]

==Rujukan==
*{{cite book |title=Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method
|first=G.|last=Adomian|publisher=Kluwer Academic Publishers|year=1994|isbn=|page=}}
*{{Citation |first=R. |last=Courant |lastauthoramp=yes |first2=D. |last2=Hilbert |title=Methods of Mathematical Physics |volume=II |publisher=Wiley-Interscience |location=New York |year=1962 }}.
*{{Citation |authorlink=Lawrence C. Evans |first=L. C. |last=Evans |title=Partial Differential Equations |publisher=American Mathematical Society |location=Providence |year=1998 |isbn=0-8218-0772-2 }}.
*{{Citation |first=Nail H |last=Ibragimov |title=CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3 |publisher=CRC-Press |location=Providence |year=1993 |isbn=0-8493-4488-3 }}.
*{{Citation |authorlink=Fritz John |first=F. |last=John |title=Partial Differential Equations |location=New York |publisher=Springer-Verlag |year=1982 |edition=4th |isbn=0-387-90609-6 }}.
*{{Citation |first=J. |last=Jost |title=Partial Differential Equations |publisher=Springer-Verlag |location=New York |year=2002 |isbn=0-387-95428-7 }}.
*{{Citation |first=Hans |last=Lewy |year=1957 |title=An example of a smooth lelurus partial differential equation without solution |journal=Annals of Mathematics. Second Series |volume=66 |issue=1 |pages=155–158 |doi= }}.
*{{Citation | last=Liao | first=S.J. | title=Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method | publisher=Chapman & Hall/ CRC Press | location=Boca Raton  | year=2003 | isbn=1-58488-407-X }}
*{{Citation |first=P.J. |last=Olver |year=1995 |title=Equivalence, Invariants and Symmetry |publisher=Cambridge Press }}.
*{{Citation |authorlink=Ivan Petrovsky |first=I. G. |last=Petrovskii |title=Partial Differential Equations |publisher=W. B. Saunders Co. |location=Philadelphia |year=1967 }}.
*{{Citation |first=Y. |last=Pinchover |lastauthoramp=yes |first2=J. |last2=Rubinstein |title=An Introduction to Partial Differential Equations |publisher=Cambridge University Press |location=New York |year=2005 |isbn=0-521-84886-5 }}.
*{{Citation |first=A. D. |last=Polyanin |title=Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists |publisher=Chapman & Hall/CRC Press |location=Boca Raton |year=2002 |isbn=1-58488-299-9 }}.
*{{Citation |first=A. D. |last=Polyanin |lastauthoramp=yes |first2=V. F. |last2=Zaitsev |title=Handbook of Nonlelurus Partial Differential Equations |publisher=Chapman & Hall/CRC Press |location=Boca Raton |year=2004 |isbn=1-58488-355-3 }}.
*{{Citation |first=A. D. |last=Polyanin |first2=V. F. |last2=Zaitsev |lastauthoramp=yes |first3=A. |last3=Moussiaux |title=Handbook of First Order Partial Differential Equations |publisher=Taylor & Francis |location=London |year=2002 |isbn=0-415-27267-X }}.
*{{Citation |first=P. |last=Solin |title=Partial Differential Equations and the Finite Element Method |publisher=J. Wiley & Sons |location=Hoboken, NJ |year=2005 |isbn=0-471-72070-4 }}.
*{{Citation |first=P. |last=Solin |first2=K. |last2=Segeth |lastauthoramp=yes |first3=I. |last3=Dolezel |title=Higher-Order Finite Element Methods |publisher=Chapman & Hall/CRC Press |location=Boca Raton |year=2003 |isbn=1-58488-438-X }}.
*{{Citation |first=H. |last=Stephani |year=1989 |title=Differential Equations: Their Solution Using Symmetries. Edited by M. MacCallum |publisher=Cambridge University Press }}.
*{{cite book |title=Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory
|first=Abdul-Majid|last=Wazwaz|publisher=Higher Education Press|year=2009|isbn=90-5809-369-7|page=}}
*{{Citation |first=D. |last=Zwillinger |title=Handbook of Differential Equations |publisher=Academic Press |location=Boston |year=1997 |edition=3rd |isbn=0-12-784395-7 }}.
*{{Citation |authorlink=Neil Gershenfeld |first=N. |last=Gershenfeld |title=The Nature of Mathematical Modeling |location=New York |publisher=Cambridge University Press, New York, NY, USA |year=1999 |edition=1st |isbn=0-521-57095-6 }}.
* Computational Partial Differential Equations Using [[MATLAB]], Jichun Li and Yi-Tung Chen, Chapman & Hall.
* Ames, W. F. (2014). Numerical methods for partial differential equations. Academic Press.
* M. Nakao, M. Plum, Y. Watanabe (2019) Numerical Verification Methods and Computer-Assisted Proofs for Partial Differential Equations (Springer Series in Computational Mathematics).

== Pautan luar ==
{{Commons category|Solutions of PDE}}
{{wikibooks|en:Partial Differential Equations}}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/pde-en.htm Partial Differential Equations: Exact Solutions] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/eqindex/eqindex-pde.htm Partial Differential Equations: Index] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/methods/meth-pde.htm Partial Differential Equations: Methods] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php?title=Partial_Differential_Equations Example problems with solutions] at exampleproblems.com
* [http://mathworld.wolfram.com/PartialDifferentialEquation.html Partial Differential Equations] at mathworld.wolfram.com
* [http://www.nag.com/numeric/fl/nagdoc_fl24/html/D03/d03intro.html Partial Differential Equations] at nag.com
* [http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page Dispersive PDE Wiki] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070425131659/http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page |date=2007-04-25 }}
* [http://www.primat.mephi.ru/wiki/ NEQwiki, the nonlelurus equations encyclopedia]
{{Mathematics-footer}}
{{authority control}}
[[Kategori:kalkulus pembolehubah berbilang]]
[[Kategori:persamaan pembezaan]]
[[Kategori:persamaan pembezaan separa| *]]