Lihat sumber bagi Nombor

{{dablink|Untuk erti kata lain bagi perkataan ini, sila lihat [[Nombor (nyahkekaburan)]].}}
{{numbers}}

'''Nombor''' ([[Tulisan Jawi]]: نومبور) ialah satu [[entiti]] abstrak yang mewakili hitungan atau [[ukuran]]. [[Simbol]] untuk nombor dipanggil [[angka]]. Dalam penggunaan biasa, angka sering digunakan sebagai label ([[penomboran rumah]]), penunjuk susunan ([[nombor bersiri]]), dan kod ([[ISBN]]). Dalam bidang [[matematik]], takrif nombor telah diperluas untuk merangkumi keabstrakan seperti [[pecahan]], [[nisbah]], serta nombor-nombor negatif, transenden, dan kompleks.

Operasi-operasi aritmetik untuk nombor, seperti [[penambahan]], [[penolakan]], [[pendaraban]] dan [[pembahagian]], dibuat lebih umum dalam cabang matematik yang dikenali sebagai [[algebra niskala]]. Algebra niskala ialah kajian tentang sistem-sistem nombor abstrak, seperti [[kumpulan (matematik)|kumpulan]], [[gelanggang (matematik)|gelanggang]] dan [[medan (matematik)|medan]].

''''¡</sub>== Jenis nombor ==
Nombor boleh dikelaskan kepada [[set]] yang dipanggil [[sistem nombor]]. Untuk kaedah-kaedah menyatakan nombor dengan simbol, sila lihat [[sistem angka]].

=== Nombor asli ===
Nombor-nombor yang paling biasa digunakan ialah '''[[nombor asli]]'''. Bagi sesetengah orang, nombor asli bermaksud ''integer bukan negatif'', manakala untuk orang yang lain, istilah itu bermakna ''integer positif''. Integer-integer bukan negatif dirujuk sebagai ''nombor bulat'', manakala integer positif dirujuk sebagai ''nombor pembilang''.

Dalam sistem penomboran [[asas sepuluh]] yang digunakan di hampir seluruh dunia, simbol-simbol untuk nombor asli ditulis dengan menggunakan sepuluh [[digit]], iaitu 0 hingga 9. Suatu sistem nilai tempat tersirat yang bertambah dengan kuasa sepuluh digunakan untuk nombor yang lebih besar daripada sembilan. Oleh itu, nombor yang lebih besar daripada sembilan mempunyai angka yang dibentuk daripada dua or lebih digit. Simbol untuk set yang merangkumi semua nombor asli ialah <math>\mathbb{N}.</math>

''''¡=== Integer ===

'''[[Nombor negatif]]''' ialah nombor yang nilainya adalah kurang daripada [[0 (nombor)|sifar]]. Nombor ini biasa ditulis dengan menggunakan tanda negatif di hadapan nombor positif yang sepadan untuk menandakan lawannya. Umpamanya, jika satu nombor positif digunakan untuk menandakan jarak di sebelah kanan titik tetap, nombor negatif akan digunakan untuk menandakan jarak di sebelah kiri. Serupa juga, jika satu nombor positif menandakan simpanan bank, jadi nombor negatif merujuk kepada pengeluaran wang daripada akaun bank itu. Apabila [[nombor bulat]] negatif  dicantumkan dengan nombor bulat positif atau nombor sifar, seseorang akan mendapat  '''[[integer]]''' <math>\mathbb{Z}</math> ([[bahasa Jerman]]: ''Zahl'', bentuk jamak ''Zahlen'').

''''=== Nombor nisbah ===

'''[[Nombor nisbah]]''' ialah nombor yang boleh diungkapkan sebagai [[Pecahan (matematik)|pecahan]] yang terdiri daripada [[pengangka]] integer serta [[penyebut]] nombor asli yang bukan sifar. Pecahan <math>\tfrac{m}{n}</math> mewakili kuantiti yang diperoleh apabila sesuatu benda dibahagikan kepada <math>n</math> bahagian yang sama. Dua pecahan yang berbeza boleh mempunyai nilai yang sama dengan satu nombor nisbah; umpamanya [[Separuh|<math>\tfrac{1}{2}</math>]] dan <math>\tfrac{2}{4}</math> adalah sama. Jika [[nilai mutlak]] untuk <math>m</math> adalah lebih besar daripada <math>n</math>, nilai mutlak untuk pecahan itu adalah lebih besar daripada satu. Pecahan boleh mempunyai nilai positif, negatif, atau sifar. Set untuk semua pecahan merangkumi semua integer kerana setiap integer boleh ditulis sebagai satu pecahan dengan penyebut 1. Simbol untuk nombor nisbah ialah huruf tebal <math>\mathbb{Q}</math> (untuk ''quotient'' dalam bahasa Inggeris, iaitu ''hasil bahagi'').

=== Nombor nyata ===
Dengan kurang tepat, nombor-nombor nyata boleh dianggap sebagai sama sahaja dengan titik-titik pada garis selanjar. Semua nombor nisbahadalah nombor nyata dan seperti dengan nombor nisbah, nombor nyata boleh dikelaskan, baik sebagai positif, sifar, mahupun negatif. Nombor nyata boleh dicirikan dengan unik melalui sifat matematiknya: nombor ini adalah [[Medan (matematik)|medan]] [[Tertib keseluruhan|tertib]] [[Kelengkapan|lengkap]] yang tunggal. Bagaimanapun, nombor nyata bukannya suatu [[medan tertutup algebra]].

Angka-angka [[perpuluhan]] adalah lagi satu cara untuk mengungkapkan nombor. Dalam sistem nombor asas sepuluh, nombor ini ditulis sebagai rentetan angka, dengan satu [[titik]] ([[titik perpuluhan]]) (umpamanya di [[Amerika Syarikat]] dan [[United Kingdom]]) atau dengan satu koma (umpamanya di benua [[Eropah]]) di sebelah kanan tempat nilai-nilai satu; nombor nyata negatif ditulis dengan [[tanda minus]] di hadapan. Sesuatu angka perpuluhan yang mentakrifkan nombor rasional boleh berulang-ulang atau tamat (walaupun seberapa banyak nombor ============== boleh ditambah), walaupun sifar ialah nombor nyata yang tunggal yang tidak boleh ditakrifkan melalui angka perpuluhan yang berulang-ulang. Umpamanya, pecahan <math>\tfrac{5}{4}</math> boleh ditulis sebagai angka perpuluhan 1.25 yang tamat, atau sebagai angka perpuluhan 1.24999... (angka-angka sembilan yang berterusan) yang berulang-ulang. Pecahan <math>\tfrac{1}{3}</math> hanya boleh ditulis dengan 0.3333... (angka-angka tiga yang berterusan) yang berulang-ulang. Semua angka perpuluhan yang berulang-ulang atau tamat mentakrifkan nombor nyata yang juga boleh ditulis sebagai pecahan; 1.25 = <math>\tfrac{5}{4}</math> dan 0.3333... = <math>\tfrac{1}{3}</math>. Sebaliknya, angka-angka yang tidak berulang-ulang atau tidak tamat mewakili  '''[[nombor bukan nisbah]]''', iaitu nombor-nombor yang tidak boleh ditulis sebagai pecahan. Umpamanya pemalar-[[pemalar matematik]] yang terkenal seperti π ([[pi]]) dan <math>\sqrt{2}</math>, [[punca kuasa dua 2]], adalah nisbah; serupa juga dengan nombor nyata yang diungkapkan oleh angka perpuluhan 0.101001000100001... kerana ungkapan ini tidak berulang atau tamat.

'''Nombor-[[nyata]]''' terdiri daripada semua nombor yang boleh diungkapkan melalui angka perpuluhan, baik nombor nisbah mahupun nisbah. Simbol untuk nombor nyata ialah <math>\mathbb{R}.</math> Nombor-nombor nyata telah dipergunakan untuk mewakili [[ukuran]], dan adalah sama dengan titik-titik pada [[garis nombor]]. Oleh sebab ukuran-ukuran hanya dibuat pada [[tahap ketepatan]] yang tertentu, [[jidar selisih]] selalu wujud apabila nombor nyata digunakan untuk mewakilinya. Ini sering diolahkan dengan menentukan bilangan [[angka bererti]] yang sesuai.

=== Nombor kompleks ===
Beralih ke tahap pengabstrakan yang lebih tinggi, nombor-nombor nyata boleh diperluas supaya merangkumi '''nombor-[[nombor kompleks]]''' <math>\mathbb{C}.</math>  Dari segi sejarah, set nombor muncul daripada soalan bolehkah nombor negatif mempunyai [[punca kuasa dua]]. Daripada masalah ini, satu nombor baru telah ditemui: punca kuasa dua negatif satu. Nombor ini ditandakan dengan simbol '''[[nombor khayalan|<math>i</math>]]''' yang diberikan oleh [[Leonhard Euler]]. 

Nombor-nombor kompleks terdiri daripada semua nombor dengan bentuk <math>a + bi</math>, dengan <math>a</math> dan <math>b</math> merupakan nombor-nombor nyata. Jika <math>a</math> ialah sifar, maka <math>a + bi</math> dipanggil [[nombor khayalan]]. Serupa juga, jika <math>b</math> ialah sifar, maka <math>a + bi</math> ialah nombor nyata kerana tidak adanya komponen khayalan. Sesuatu nombor kompleks yang mempunyai <math>a</math> dan <math>b</math> sebagai integer dipanggil [[integer Gaussan]]. Nombor-nombor kompleks merupakan [[medan tertutup algebra]], iaitu setiap polinomial dengan koefisien kompleks boleh difaktorkan menjadi faktor-faktor linear yang mempunyai koefisien-koefisien kompleks. Nombor-nombor kompleks adalah sepadan dengan titik-titik pada [[satah kompleks]].

Setiap sistem nombor yang disebut di atas adalah [[subset]] bagi sistem nombor yang berikut. Secara simbol, ini diwakili sebagai: <math>\mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \sub \mathbb{Q} \sub \mathbb{R} \sub \mathbb{C}.</math>

<!--===Jenis lain===

[[Superreal number|Superreal]], [[hyperreal number|hyperreal]] and [[surreal number]]s extend the real numbers by adding infinitesimally small numbers and infinitely large numbers, but still form [[field (mathematics)|field]]s.

The idea behind [[p-adic number]]s is this:
While real numbers may have infinitely long expansions to the right of the decimal point, these numbers allow for infinitely long expansions to the left.  The number system which results depends on what [[radix|base]] is used for the digits: any base is possible, but a system with the best mathematical properties is obtained when the base is a [[prime number]].

For dealing with infinite collections, the natural numbers have been generalized to the [[ordinal number]]s and to the [[cardinal number]]s. The former gives the ordering of the collection, while the latter gives its size. For the finite set, the ordinal and cardinal numbers are equivalent, but they differ in the infinite case.

There are also other sets of numbers with specialized uses.  Some are subsets of the complex numbers.  For example, [[algebraic numbers]] are the roots of [[polynomials]] with rational [[coefficients]]. Complex numbers that are not algebraic are called [[transcendental numbers]].

''<u></u> of numbers that are not subsets of the complex numbers include the [[quaternion]]s <math>\mathbb{H}</math>, invented by Sir [[William Rowan Hamilton]], in which multiplication is not [[commutative]], and the [[octonion]]s, in which multiplication is not [[associative]]. Elements of [[function field]]s of finite [[characteristic (algebra)|characteristic]] behave in some ways like numbers and are often regarded as numbers by number theorists.
-->''

== Angka ==
Nombor-nombor harus dibezakan daripada ''[[angka]]'' yang merupakan simbol untuk mewakili nombor. Nombor 'lima' boleh diwakili dengan kedua-dua angka asas sepuluh, iaitu 5, atau [[angka Roman]], V. Notasi-notasi yang digunakan untuk mewakili nombor dibincangkan dalam rencana [[sistem angka]] yang berasingkan. Satu perkembangan yang penting dalam sejarah angka ialah perkembangan satu sistem tempat dan serupa dengan [[sistem perpuluhan]] moden, dapat mewakili nombor-nombor yang amat besar. Sebaliknya, angka-angka Roman memerlukan simbol-simbol tambahan untuk mewakili nombor-nombor yang lebih besar.

== Sejarah ==
=== Sejarah integer ===
==== Nombor pertama ====
{{further|Sistem angka#Sejarah}}

Penggunaan nombor buat pertama kali yang diketahui bertarikh sejak sekitar 30000 SM, ketika [[gundal]] digunakan oleh orang-orang [[Zaman Paleolitik|Paleolitik]]. Contoh terawal yang dikenali ialah dari sebuah [[gua]] di bahagian selatan [[Afrika]]. [http://www.pballew.net/arithme6.html]. Sistem ini tidak mempunyai konsep nilai tempat (seperti dalam notasi [[Sistem perpuluhan|perpuluhan]] yang digunakan sekarang) dan oleh itu, mengehadkan perwakilan nombor yang besar. Sistem pertama yang diketahui mempunyai nilai tempat ialah sistem asas 60 [[Unit ukuran Mesopotamia Kuno|Mesopotamia]] ([[Kabushiki gaisha|k.k]]. [[Abad ke-34 SM|3400 SM]]), dan sistem asas 10 terawal yang dikenali wujud sejak  [[Abad ke-30|3100 SM]] di [[Mesir]]. [http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html#berlin]

==== Sejarah sifar ====
{{further|0 (nombor)#Sejarah}}

Penggunaan sifar sebagai satu nombor harus dibezakan daripada penggunaannya sebagai satu angka pemegang tempat dalam sistem-[[sistem nilai tempat]]. Banyak teks [[India]] kuno menggunakan perkataan [[Bahasa Sanskrit|Sanskrit]] ''shunya'' untuk merujuk kepada konsep ''lowong''; dalam teks [[matematik]], perkataan ini sering digunakan untuk merujuk kepada nombor sifar. [http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/apr99/0197.html]. Dengan cara yang sama,  [[Pāṇini]] ([[abad ke-5 SM]]) menggunakan pengoperasi [[nol]] (sifar, iaitu [[penerbitan lambda]]) dalam [[Tatabahasa formal|tatabahasa algebranya]], [[Ashtadhyayi]],  untuk [[bahasa Sanskrit]] (lihat juga [[Pingala]])

Rekod-rekod menunjukkan bahawa orang-orang [[Yunani]] kelihatan tidak pasti tentang status sifar sebagai satu nombor: mereka tertanya-tanya tentang "bagaimana 'tidak ada apa-apa' boleh merupakan sesuatu?", dan menimbulkan perdebatan [[falsafah]] dan menjelang [[Zaman Pertengahan]], juga perdebatan [[agama]] yang menarik tentang sifat dan kewujudan sifar serta  [[Vakum|hampagas]]. [[Paradoks Zeno|Paradoks]] [[Zeno dari Elea]] bergantung sebahagian besar kepada tafsiran sifar yang tidak pasti. (Orang-orang Yunani juga mempersoalkan tentang adakah  [[1 (nombor)|1]] merupakan salah satu nombor.)

Orang-orang [[Olmec]] dari [[Mexico]] tengah selatan yang lebih lewat memulakan penggunaan sifar benar di dalam Dunia Baru, mungkin sejak [[abad ke-4 SM]] tetapi pasti pada [[40 SM]]. Sifar benar itu dijadikan oleh mereka sebagai satu angka yang perlu untuk angka-[[angka Maya]] dan [[takwim Maya]], tetapi penggunaan mereka ini tidak mempengaruhi sistem-sistem angka Dunia Lama.

Menjelang tahun  [[130|130 Masihi]], [[Ptolemy]] yang dipengaruhi oleh [[Hipparchus (ahli astronomi)|Hipparchus]] dan orang-orang [[Babylon]], menggunakan satu simbol untuk sifar (satu bulatan kecil dengan satu palang yang panjang di atasnya) yang sebelum itu, menggunakan abjad dalam sistem angka perenampuluhan. Disebabkan nombor sifar ini digunakan secara berasingan, dan bukan sahaja sebagai pemegang tempat, [[Angka Greek#Sifar keyunanian|sifar keyunanian]] ini merupakan penggunaan sifar benar yang 'didokumenkan' buat pertama kali di dalam Dunia Lama. Untuk manuskrip-[[manuskrip]] [[Empayar Rom Timur|Rom Timur]] yang kemudian bagi karyanya, ''Syntaxis Mathematica'' (''Almagest''), bentuk sifar keyunanian Ptolemy telah diubah menjadi [[Abjad Greek|huruf Greek]], [[omikron]] (sebelum itu bermaksud 70).

Menjelang tahun [[525|525 Masihi]], lagi satu sifar benar telah digunakan di dalam jadual-jadual, bersama-sama dengan [[Angka Rom#Sifar|angka Rom]] (penggunaan pertama yang diketahui adalah oleh [[Dionysius Exiguus]]), tetapi sebagai perkataan, iaitu ''nulla'' yang bermaksud ''tidak ada satu pun'', dan bukannya sebagai satu simbol. Apabila pembahagian menghasilkan sifar sebagai bakinya, ''nihil'' yang juga bermaksud ''tiada ada satu pun'', digunakan. Sifar-sifar Zaman Pertengahan ini digunakan oleh semua [[komputus]] (penghitung [[Easter]]) Zaman Pertengahan yang kemudian. Pada sekitar [[725|725 Masihi]], [[parap]] N digunakan dalam jadual angka Rom ditulis [[Bede]] atau teman sekerjanya, dan merupakan satu penggunaan terasing, serta satu simbol sifar yang benar.

Satu penggunaan sifar yang awal oleh [[Brahmagupta]] yang telah didokumenkan di dalam [[Brahmasphutasiddhanta]] bertarikh sejak tahun [[628|628 Masihi]]. Beliau mengolahkan sifar sebagai satu nombor, dan membincangkan operasi-operasi yang melibatkannya, termasuk [[Pembahagian dengan sifar|pembahagian]]. Pada masa ini, iaitu [[abad ke-7]], konsep ini jelas telah tiba di [[Kemboja]], dan dokumen-dokumen menunjukkan bahawa idea ini kemudian tersebar ke [[China]] dan dunia [[Islam]].

==== Sejarah nombor negatif ====
{{further|Nombor negatif dan bukan negatif#Penggunaan pertama nombor negatif}}

Konsep abstrak bagi nombor-nombor negatif telah diakui seawal [[100 SM|100]] - [[50 SM]]. Karya [[China|Cina]], "''[[Sembilan Bab mengenai Seni Matematik]]''"  (''Jiu-zhang Suanshu'') mengandungi kaedah-kaedah untuk menentukan keluasan gambar rajah; palang merah digunakan untuk menandakan [[pekali]] positif, dan palang hitam untuk pekali negatif. Ini merupakan sebutan nombor negatif yang pertama diketahui di [[dunia Timur]]; rujukan pertama dalam karya Barat adalah pada [[abad ke-3]] di [[Greece]]. [[Diophantus]] merujuk kepada persamaan <math>4x + 20 = 0</math> (penyelesaiannya adalah negatif) di dalam karyanya, ''[[Arithmetica]]'', dan mengatakan bahawa persamaan itu memberikan hasil bukan-bukan.

Semasa dekad [[600-an]], nombor-nombor negatif telah digunakan di [[India]] untuk mewakili hutang. Rujukan-rujukan [[Diophantus]] dahulu telah dibincangkan dengan lebih ketara oleh [[Brahmagupta]], ahli matematik India, di dalam karyanya [[Brahmasphutasiddhanta|Brahma-Sphuta-Siddhanta]] pada tahun [[628|628 Masihi]]. Beliau menggunakan nombor-nombor negatif untuk menghasilkan [[Persamaan kuadratik#Rumus kuadratik|rumus kuadratik]], satu bentuk am yang masih digunakan pada hari ini. Bagaimanapun pada [[abad ke-12]] di India, [[Bhaskara]] memberikan punca kuasa negatif untuk persamaan-persamaan kuadratik, tetapi berkata bahawa nilai negatif "dalam kes ini tidak diambil kerana tidak sempurna; orang-orang tidak akan bersetuju dengan punca-punca kuasa negatif."

Ahli-ahli matematik [[Eropah]] biasanya menahan konsep nombor-nombor negatif sehingga [[abad ke-17]], walaupun [[Leonardo dari Pisa#Terbitan-terbitan penting|Fibonacci]] membenarkan penyelesaian negatif yang ditafsirkannya sebagai debit (bab 13 daripada ''[[Liber Abaci]]'', [[1202]]) dan kemudiannya sebagai kerugian (dalam ''Flos''). Pada waktu yang sama, orang-orang Cina menandakan nombor-nombor negatif melalui satu coret serong pada digit bukan sifar yang paling kanan untuk angka nombor positif yang sepadan. Penggunaan pertama nombor negatif dalam karya Eropah adalah oleh [[Chuquet]] pada [[abad ke-15]]. Beliau menggunakannya sebagai [[eksponen]], tetapi merujuk kepadanya sebagai "nombor bukan-bukan"

Baru-baru pada [[abad ke-18]], ahli mathematik [[Switzerland]], [[Leonhard Euler]], mempercayai bahawa nombor negatif adalah lebih besar berbanding dengan [[Infiniti]]. Adalah amalan biasa pada masa itu untuk tidak mengendahkan sebarang hasil negatif yang dikembalikan oleh persamaan, berdasarkan andaian bahawa angka-angka itu tidak bermakna.

=== Sejarah nombor rasional, nisbah, dan nombor nyata ===
{{further|[[Nisbah#Sejarah|Sejarah nisbah]] dan [[Sejarah pi]]}}

==== Sejarah nombor rasional ====
Konsep nombor-nombor pecahan mungkin wujud sejak [[zaman prasejarah]]. Orang-orang [[Mesir Kuno]] juga menulis teks matematik yang memerihalkan bagaimana mengubahkan [[Pecahan kasar|pecahan]] menjadi [[pecahan Mesir|notasi khas]]. Ahli matematik Greek klasik dan India mengkaji teori nombor rasional sebagai sebahagian kajian am untuk teori nombor. Kajian yang paling terkenal ialah ''[[Unsur-unsur Euclid]]'' yang wujud sejak kira-kira [[300 SM]]. Antara teks-teks India, kajian yang paling berkait ialah ''[[Sutra Sthananga]]'' yang juga merangkumi teori nombor sebagai sebahagian kajian am matematik.

Konsep [[pecahan perpuluhan]] amat berkait dengan notasi nilai tempat perpuluhan; kedua-dua ini nampaknya berkembang bersama-sama. Umpamanya, sutra-sutra matematik Jain biasanya termasuk penghitungan penghampiran pecahan perpuluhan untuk [[pi]] atau [[punca kuasa dua untuk dua]]. Serupa juga, teks-teks matematik Babylon selalu menggunakan pecahan-pecahan perenam-puluhan dengan amat kerap.

==== Sejarah nisbah ====
Penggunaan nombor tak nisbah terawal yang diketahui terdapat dalam [[Sulba Sutra]] [[matematik India|India]] yang dikarang sekitar [[800 SM|800]]-[[500 SM]]. Bukti kewujudan terawal nombor tak nisbah dipercayai berpunca daripada [[Pythagoras]], atau secara lebih khususnya pengikut beliau [[Hippasus|Hippasus dari Metapontum]], yang menghasilkan bukti (paling mungkin secara geometri) ketaknisbahan [[punca kuasa dua dari dua|punca kuasa dua dari 2]]. Mengikut kisah, Hippasus menemui nombor tak nisbah ketika cuba menggambarkan punca kuasa dua 2 sebagai satu pecahan. Namun, [[Pythagoras]] percaya akan kemutlakan nombor, dan tidak dapat menerima kewujudan nombor tak nisbah. Beliau tidak mampu membuktikan ketidakwujudannya melalui logik, namun kepercayaan beliau tidak mampu menerima kewujudan nombor tak nisbah maka beliau menghukum mati Hippasus dengan melemaskannya.

Abad ke-16 melihatkan penerimaan muktamad nombor [[nombor negatif dan bukan negatif|negatif]], integer dan [[pecahan]] oleh orang Eropah. Abad ke-17 melihatkan pecahan perpuluhan dengan notasi moden digunakan secara meluas oleh ahli matematik. Namun, hanya ketika abad-19 barulah nombor tak nisbah dibahagi kepada bahagian algebra dan transendental, dan satu kajian saintifik mengenai teori monbor tak nisbah timbul lagi setelah lama terpendam sejak zaman [[Euclid]]. Tahun 1872 menyaksikan penerbitan teori-teori [[Karl Weierstrass]] (oleh anak muridnya [[Kossak]]), [[Heine]] (''[[Crelle]]'', 74), [[Georg Cantor]] (Annalen, 5), dan [[Richard Dedekind]]. Pada tahun 1869 kajian [[Méray]] menyimpang dari titik yang serupa dengan [[Heine]], namun teori itu dirujuk secara amnya kepada tahun 1872. Keadah Weierstrass telah dikemukakan sepenuhnya oleh [[Pincherle]] (1880), dan kadeah Dedekind pula menerima makin menonjol melalui kerja-kerja lanjutan pengarang tersebut (1888) dan disusuli dukungan oleh [[Paul Tannery]] (1894). Weierstrass, Cantor, dan Heine mengasaskan teori masing-masing pada siri tak terhingga, manakala Dedekind mengasaskan teori beliau pada idea [[potongan Dedekind|potongan (Schnitt)]] dalam sistem [[nombor nyata]], maka memisahkan semua [[nombor nisbah]] kepada dua kumpulan yang melihatkan ciri-ciri biasa yang tertentu. Subjek ini kemudiannya menerima sumbangan lanjut di tangan Weierstrass, [[Kronecker]] (Crelle, 101), dan Méray.

[[Pecahan berlanjar]] yang berkait rapat dengan nombor tak nisbah (dan oleh sebab Cataldi, 1613), menarik perhatian di tangan [[Euler]], dan pada awal abad ke-19 pula ditonjolkan melalui penulisan [[Joseph Louis Lagrange]]. Sumbangan penting lain turut dilakukan oleh [[Druckenmüller]] (1837), [[Kunze]] (1857), [[Lemke]] (1870), dan [[Günther]] (1872). [[Ramus]] (1855) mula-mula menghubungkaitkan subjek ini dengan [[penentu]], mencetuskan sumbangan seterusnya oleh Heine, [[August Ferdinand Möbius|Möbius]], dan [[Günther]], dalam teori Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet juga menokok tambah teori amnya, seperti mana yang dilakukan ramai penyumbang kepada aplikasi subjek ini.

==== Nombor transenden dan nombor nyata ====
Hasil kajian terulung mengenai nombor transenden merupakan bukti yang dikemukakan oleh [[Johann Heinrich Lambert]] pada tahun 1761 bahawa π tidak boleh berbentuk nombor nisbah, dan juga bahawa ''e''<sup>''n''</sup> tidak nisbah jika ''n'' nisbah (melainkan ''n'' = 0). (Pemalar [[E (pemalar)|''e'']] pertama kali disentuh dalam kerja [[John Napier]] tahun 1618 mengenai [[logaritma]].) [[Legendre]] memperkuatkan bukti ini untuk menunjukkan bahawa π bukan kuasa dua kepada suatu nombor nisbah. Pencarian kuasa persamaan [[Persamaan kuintik|kuintik]] dan berdarjah lebih tinggi merupakan perkembangan penting, [[teorem Abel–Ruffini]] ([[Paolo Ruffini|Ruffini]] 1799, [[Niels Henrik Abel|Abel]] 1824) menunjukkan bahawa ini tidak boleh diselesaikan dengan [[Radikal (matematik)|radikal]] (formula yang hanya melibatkan operasi dan punca aritmatik). Maka, adalah perlu untuk mengambil kira set [[nombor algebra]] yang lebih luas (segala penyelesaian kepada persamaan-persamaan polinomial). [[Évariste Galois]] (1832) mengaitkan persamaan-persamaan polinomial  kepada [[teori kelompok]] yang membangkitkan bidang [[teori Galois]].

Set nombor algebra pun tidak mencukupi dan set penuh nombor nyata termasuklah [[nombor transenden]], yang kewujudannya dibutkikan puat julung kalinya oleh [[Joseph Liouville]] (1844, 1851). Pada tahun 1873, [[Charles Hermite]] membuktikan bahawa [[E (pemalar)|''e'']] adalah nombor transenden dan pada tahun 1882, [[Ferdinand von Lindemann]] membuktikan bahawa π juga transenden. Akhirnya [[Georg Cantor|Cantor]] menunjukkan bahawa set segala [[nombor nyata]] adalah tidak berkira dan tidak terhingga tetapi set segala [[nombor algebra]] adalah tidak terhingga tetapi berkira, maka terdapatlah bilangan nombor transenden yang tidak berkira dan tidak terhingga.

=== Ketakterhinggaan ===
{{further|[[Ketakterhinggaan#Sejarah|Sejarah ketakterhinggaan]]}}

Tanggapan terawal yang diketahui mengenai [[ketakterhinggaan]] matematik muncul di dalam  [[Veda Yajur]] yang pada sebahagiannya menyatakan: "jika anda mengeluarkan sebahagian daripada ketakterhinggaan atau menambah sebahagian kepadanya, hasilnya masih merupakan ketakterhinggaan". Ketakterhinggaan merupakan satu topik kajian [[falsafah]] yang popular antara ahli-ahli matematik [[Jain]] pada kira-kira [[400 SM]]. Mereka membezakan antara lima jenis ketakterhinggaan: tak terhingga pada satu atau dua arah, keluasan yang tak terhingga, ketakterhinggaan pada mana-mana satu arah, dan ketakterhinggan sepanjang masa.

Di dunia Barat, tanggapan tradisional mengenai ketakterhinggaan matematik ditakrifkan oleh [[Aristotle]] yang membezakan [[ketakterhinggaan sebenar]] dan [[ketakterhinggaan berpotensi]]; sepersetujuan yang dicapai adalah bahawa hanya ketakterhinggaan berpotensi mempunyai nilai benar. Karya [[Galileo]], ''[[Dua Sains Baru]]'', membincangkan idea [[Bijeksi|kesepadanan satu ke satu]] antara set-set tak terhingga. Bagaimanapun, kemajuan utama yang berikutnya dibuat oleh [[Georg Cantor]] pada tahun [[1895]] apabila beliau menerbitkan sebuah buku mengenai [[teori set]] yang baru, dan memperkenalkan [[hipotesis kontinum]], antara lain.

Versi geometri moden untuk ketakterhinggaan diberikan oleh [[geometri unjuran]] yang memperkenalkan "titik-titik unggul pada ketakterhinggaan," dengan satu titik bagi setiap arah ruang. Setiap keluarga garis-garis selari pada satu arah yang tertentu dipostulatkan akan bertemu di titik unggul yang sepadan. Ini amat berkait dengan idea titik-titik lenyap di dalam [[Lukisan perspektif (grafik)|lukisan perspektif]].

=== Nombor kompleks ===
{{further|Nombor kompleks#Sejarah}}

Sentuhan sepintas lalu yang terawal mengenai punca kuasa dua nombor negatif didapati dalam kerja ahli matematik dan pencipta Greek, [[Heron dari Alexandria]], pada [[abad pertama]] M, apabila beliau mengambil kira isi padu sesuatu [[frustum]] mustahil dalam [[piramid]]. Perihal punca kuasa dua nombor negatif ini menonjol pada [[abad ke-16]] apabila formula-formula tertutup untuk punca-punca polinomial darjah ketiga dan keempat ditemui oleh ahli matematik [[Itali]] (lihat [[Niccolo Fontana Tartaglia]], [[Gerolamo Cardano]]). Tidak lama kemudian, adalah didapati bahawa formula-formula ini, sungguhpun jika seseorang itu hanya berminat terhadap penyelesaian nyata, namun kadang-kala memerlukan manipulasi punca kuasa dua nombor negatif. 

Inipun makin membingungkan kerana mereka tidak pun mengamil kira nombor negatif dengan dasar yang kuat pada masa itu. Istilah "hayalan" bagi kuantiti-kuantiti ini dicadangkan oleh [[René Descartes]] pada tahun [[1637]] dan sepatutnya membawa erti penghinaan (lihat [[nombor hayalan]] bagi membincangkan "realiti" nombor kompleks). Satu lagi sumber kekeliruan ini adalah bahawa persamaan <math>\sqrt{-1}^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1</math> kelihatan tidak konsisten dan tidak menentu dengan identiti algebra <math>\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}</math> yang sah untuk nombor nyata positif ''a'' dan ''b'', serta juga digunakan dalam pengiraan nombor kompleks dengan mana-mana antara ''a'', ''b'' positif dan nombor negatif yang lain. Penyalahgunaan identiti ini (dan identiti <math>\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}</math> yang berkaitan) yang mana kedua-dua ''a'' dan ''b'' adalah engatif pun membingungkan [[Euler]]. Kesulitan ini kemudiannya membawa beliau kepada kelaziman menggunakan simbol khas ''i'' untuk menggantikan <math>\sqrt{-1}</math> untuk mencegah kesilapan ini.

[[Abad ke-18]] melihatkan titik peluh [[Abraham de Moivre]] dan [[Leonhard Euler]]. De Moivre (1730) dihargai dengan formula terkenal yang dinamakan bersempena beliau, iaitu [[formula de Moivre]]:

:<math>(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta \,</math>

dan Euler (1748) pula [[formula Euler|formula]] [[analisa kompleks]] Euler:

:<math>\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta }. \,</math>

Kewujudan nombor kompleks tidak diterima sepenuhnya sehingga petafsiran geometri telah dihuraikan oleh [[Caspar Wessel]] pada tahun [[1799]]; pentafsiran ini ditemui semula beberapa tahun kemudian dan dipopularkan oleh [[Carl Friedrich Gauss]], dan kesannya, teori nombor kompleks mengalami satu pengembangan yang penting. Apa pun, dea gambaran nombor kompleks secara grafik turut timbul seawal tahun 1685, dalam ''De Algebra tractatus'' oleh [[John Wallis]].

Juga pada tahun 1799, Gauss mengemukakan bukti diterima umum pertama bagi [[teorem asas algebra]], untuk menunjukkan bahawa setiap polinomial pada nombor kompleks mempunyai set penuh penyelesaian dalam bidang ini. Penerimaan umum teori nombor kompleks ini tidak sedikit pun merupakan hasil [[Augustin Louis Cauchy]] dan [[Niels Henrik Abel]], khususnya Abel yang merupakan yang pertama untuk berani menggunakan nombor kompleks lalu mencapai kejayaan yang terkenal.

[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] mengkaji [[integer Gauss|nombor-nombor kompleks bagi bentuk]] <math>a + bi</math>, yang mana ''a'' dan ''b'' adalah integer atau nisbah (dan  ''i'' ialah salah satu daripada dua punca <math>x^2 + 1 = 0</math>). Anak muridnya, [[Ferdinand Eisenstein]], mengkaji <math>a + b\omega</math>, yang mana <math>\omega</math> ialah punca kompleks bagi <math>x^3 - 1 = 0</math>. Kelas-kelas nombor kompleks sedemikian yang lain (iaitu [[medan siklotomik]]) berasal daripada [[punca kesean]] <math>x^k - 1 = 0</math> bagi nilai-nilai <math>k</math> yang lebih tinggi. Pengitlakan ini banyak berpunca daripada [[Kummer]] yang juga mencipta [[nombor unggul]] yang diungkapkan sebagai entiti geometri oleh [[Felix Klein]] pada tahun 1893. Teori am medan-medan ini direka oleh [[Évariste Galois]] yang mengkaji medan-medan yang dijana olej akar kepada mana-mana persamaan polinomial 

:<math>\ F(x) = 0.</math>

pada tahun [[1850]] [[Victor Alexandre Puiseux]] mengambil langkah penting untuk membezakan antara kutub dan titik cabang, dan memperkenalkan konsep [[ketunggalan matematik|titik tunggal asas]]; ini kemudiannya akan membawa kepada konsep [[satah kompleks dilanjutkan]].

=== Nombor perdana ===
Nombor-[[nombor perdana]] telah dikaji pada sepanjang sejarah tercatat. Euclid mengekhaskan sebuah buku dalam ''Unsur-unsur''nya untuk teori nombor perdana; dalam buku itu, beliau membuktikan ketakterhinggaan nombor-nombor perdana serta [[teorem asas aritmetik]], dan menyampaikan [[algoritma Euclid]] untuk memperoleh [[pembahagi sepunya terbesar]] untuk dua nombor.

Pada tahun [[240 SM]], [[Eratosthenes]] menggunakan [[Saringan Eratosthenes]] untuk mengasingkan nombor-nombor perdana dengan cepat. Bagaimanapun, kebanyakan perkembangan lanjutan bagi teori nombor perdana di Eropah wujud sejak [[Zaman Pembaharuan Renaissance]] dan zaman-zaman kemudian.

Pada tahun [[1796]], [[Adrien-Marie Legendre]] menerka [[teorem nombor perdana]], dan memerihalkan taburan asimptot untuk nombor-nombor perdana. Hasil-hasil lain mengenai taburan nombor perdana termasuk bukti Euler yang menyatakan bahawa hasil tambah untuk salingan-salingan mencapah, serta [[konjektur Goldbach]] yang mendakwa bahawa mana-mana satu nombor genap yang cukup besar adalah hasil tambah dua nombor perdana. Lagi satu konjektur yang berkaitan dengan taburan nombor-nombor perdana ialah [[hipotesis Riemann]] yang dirumuskan oleh [[Bernhard Riemann]] pada tahun  [[1859]]. Teorem nombor perdana akhirnya dibuktikan oleh [[Jacques Hadamard]] dan [[Charles de la Vallee-Poussin]] pada tahun [[1896]].

== Rujukan ==
* Erich Friedman, ''[http://www.stetson.edu/~efriedma/numbers.html Apakah yang istimewa tentang nombor ini?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180223062027/http://www2.stetson.edu/~efriedma/numbers.html |date=2018-02-23 }}''
* Steven Galovich, ''Introduction to Mathematical Structures'', Harcourt Brace Javanovich, [[23 Januari]] [[1989]], ISBN 0-15-543468-3.
* Paul Halmos, ''Naive Set Theory'', Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6.
* Morris Kline, ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times'', Percetakan [[Universiti Oxford]], 1972.
* Whitehead and Russell, ''Principia Mathematia'' ke *56, Percetakan Universiti Cambridge, 1910.
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml Apakah itu Nombor?] di laman web [[cut-the-knot]]
{{reflist}}

== Lihat juga ==
{{col-begin}}
{{col-break}}
* [[Nombor besar]]
* [[Nombor dalam pelbagai bahasa]]
* [[Nombor ganjil dan nombor genap]]
* [[Nombor kecil]]
* [[Nombor masyhur]]
* [[Nombor mitos]]
* [[Nombor negatif dan nombor bukan negatif]]
* [[Nombor perdana]]
* [[Peringkat magnitud (nombor)|Peringkat magnitud]]
{{col-break}}
* [[Pemalar fizikal]]
* [[Pemalar matematik]]
* [[Pensubitisan dan pengiraan]]
* [[0 (nombor)|Sifar]]
* [[Senarai nombor]]
* [[Angka Arab|Sistem angka Arab]]
* [[Tanda nombor]]
* [[Tanda numero]]
* [[Titik apung|Perwakilan titik apung dalam komputer]]
{{col-end}}

== Pautan luar ==
{{Commons|Numbers|Nombor}}
{{wiktionary|nombor}}
* [http://www.wikiguru.org/index.php?title=Numbers Pelajaran nombor di WikiGuru]{{Pautan putus|date=Oktober 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* [http://freepages.history.rootsweb.com/~catshaman/13comp/0numer.htm Nombor Mesopotamia dan Germanik]
* [http://www.bbc.co.uk/radio4/history/inourtime/inourtime_20060309.shtml Radio BBC 4, Di Zaman Kita: Nombor Negatif]

{{Authority control}}
[[Kategori:Nombor| ]]
[[Kategori:Teori kumpulan]]