Lihat sumber bagi Nisbah keemasan

[[Fail:Golden ratio line.svg|right|thumb|225px|'''Seksyen keemasan''' ialah satu temberang garisan yang dibahagikan menurut nisbah keemasan:
Panjang keseluruhan <span style="color:green;">'''''a + b'''''</span> is to the length of the longer segment <span style="color:blue;">'''''a'''''</span> as the length of <span style="color:blue;">'''''a'''''</span> is to the length of the shorter segment <span style="color:red;">'''''b'''''</span>.]]

[[File:SimilarGoldenRectangles.svg|right|thumb|Sebuah [[segi empat tempat keemasan]]  dengan sisi yang panjang <span style="color:blue;">'''''a'''''</span> dan sisi pendek <span style="color:red;">'''''b'''''</span>, apabila ditempatkan bersebelahan dengan segi empat sama dengan sisi-sisi berkepanjangan <span style="color:blue;">'''''a'''''</span>, akan menghasilkan sebuah segi empat tepat keemasan yang serupa dengan sisi panjang <span style="color:green;">'''''a + b'''''</span> dan sisi pendek <span style="color:blue;">'''''a'''''</span>. Ini menggambarkan hubungan <math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi</math>.]]

Dalam [[matematik]] dan [[seni]], dua kuantiti berada dalam '''nisbah keemasan''' sekiranya [[nisbah]] hasil tambah kuantiti-kuantiti itu kepada kuantiti yang lebih besar adalah setara dengan nisbah kuantiti yang lebih besar kepada kuantiti yang lebih kecil. Nisbah keemasan adalah pemalar matematik tak nisbah, bernilai lebih kurang 1.6180339887.<ref name=quadform/> Sebutan lain yang sering digunakan untuk nisbah keemasan adalah '''seksyen keemasan''' (Latin: ''sectio aurea'') dan '''purata keemasan'''.<ref name="livio">{{Cite book|last=Livio|first=Mario|year=2002|title=The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number|publisher=Broadway Books|location=New York|isbn=0-7679-0815-5|url=http://books.google.com/books?id=w9dmPwAACAAJ}}</ref><ref>Piotr Sadowski, ''The Knight on His Quest: Symbolic Patterns of Transition in Sir Gawain and the Green Knight'', Cranbury NJ: Associated University Presses, 1996</ref><ref name="dunlap">Richard A Dunlap, ''The Golden Ratio and Fibonacci Numbers'', World Scientific Publishing, 1997</ref> Istilah lain yang biasa ditemui termasuklah '''nisbah lampau dan purata''',<ref name="Elements 6.3">Euclid, ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Elements]'', Book 6, Definition 3.</ref> '''seksyen pertengahan''', '''perkadaran Ilahi''', '''seksyen Ilahi''' (Latin: ''sectio divina''), '''perkadaran keemasan''', '''potongan keemasan''',<ref>Summerson John, ''Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture'' (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. "And the same applies in architecture, to the [[rectangle]]s representing these and other ratios (e.g. the 'golden cut'). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design."</ref> '''nombor keemasan''', dan '''purata [[Phidias]]'''.<ref>Jay Hambidge, ''Dynamic Symmetry: The Greek Vase'', New Haven CT: Yale University Press, 1920</ref><ref>William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, ''Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference'', Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003</ref><ref>Pacioli, Luca. ''De divina proportione'', Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.</ref> Dalam rencana ini, nisbah keemasan diwakili oleh huruf kecil [[Yunani]], [[Phi (huruf)|phi]] ( <math>\varphi \,</math>) , manakala angka silangannya <math>1/\varphi \,</math> atau <math>\varphi^{-1} \,</math>, diwakili oleh huruf besar Phi, (<math>\Phi \,</math>).

Rajah di sebelah kanan menunjukkan hubungan geometri yang mentakrifkan pemalar ini. Secara algebra diungkapkan sebagai:

:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi\,.</math>

Persamaan ini mempunyai satu penyelesaian positif dalam nombor tak nisbah algebra:

:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.61803\,39887\ldots\,</math> <!-- PLEASE DO NOT add additional decimal places here. There is long-standing consensus that additional decimal places here do not contribute to understanding. Thank you.
--><ref name="quadform">The golden ratio can be derived by the [[quadratic formula]], by starting with the first number as 1, then solving for 2nd number ''x'', where the ratios (''x''&nbsp;+&nbsp;1)/''x'' = ''x''/1 or (multiplying by ''x'') yields: ''x''&nbsp;+&nbsp;1 = ''x''<sup>2</sup>, or thus a quadratic equation: ''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0. Then, by the quadratic formula, for positive ''x'' = (&minus;''b''&nbsp;+&nbsp;&radic;(''b''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;4''ac''))/(2''a'') with ''a''&nbsp;=&nbsp;1, ''b''&nbsp;=&nbsp;&minus;1, ''c''&nbsp;=&nbsp;&minus;1, the solution for ''x'' is: (&minus;(&minus;1)&nbsp;+&nbsp;&radic;((&minus;1)<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;4&middot;1&middot;(&minus;1)))/(2&middot;1) or (1&nbsp;+&nbsp;&radic;(5))/2.</ref>

Sekurang-kurangnya sejak [[Renaissance]]{{Citation needed|date=March 2011}}, ramai [[artis]] dan [[arkitek]] menyeimbangkan karya-karya mereka kira-kira pada nisbah keemasan-terutamanya dalam bentuk [[segi empat tepat keemasan]], yang nisbah sisi yang lebih panjang pada yang lebih pendek adalah nisbah keemasan- dengan memercayai{{Citation needed|date=March 2011}} perkadaran ini memberikan kesenangan estetik. [[Ahli matematik]] telah mengkaji nisbah keemasan kerana sifat-sifatnya unik dan menarik. 

[[Fail:Golden Rectangle Construction.svg|right|thumb|Binaan sebuah [[segi empat tepat keemasan]]:<br />
1. Bina sebuah segi empat unit (merah).<br />
2. Lukis satu garisan dari titik tengah satu sisi ke sudut yang bertentangan.<br />
3. Guna garisan tersebut sebagai jejari untuk melukis satu lengkok yang menentukan dimensi panjang segi empat tepat itu.]]

[[Fail:SimilarGoldenRectangles.svg|right|thumb|Satu [[segi empat tepat keemasan]] dengan sisi yang lebih panjang <span style="color:blue;">'''''a'''''</span> dan sisi yang lebih pendek <span style="color:red;">'''''b'''''</span>, apabila diletakkan bersebelahan dengan satu segi empat yang kesemua sisinya dengan kepanjangan <span style="color:blue;">'''''a'''''</span>, akan menghasilkan satu segi empat tepat keemasan serupa dengan sisi yang lebih panjang <span style="color:green;">'''''a + b'''''</span> dan sisi yang lebih pendek <span style="color:blue;">'''''a'''''</span>. Ini menunjukkan hubungan <math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi\,.</math>]]

==Pengiraan==
{| border="1" style="float: right; border-collapse: collapse;" class="wikitable"
| colspan="2" align="center" | {{Nombor tak nisbah}}
|-
|[[Sistem nombor perduaan|Perduaan]]
| 1.1001111000110111011…
|-
| [[Perpuluhan]]
| 1.6180339887498948482…
|-
| [[Perenambelasan]]
| 1.9E3779B97F4A7C15F39…
|-
| [[Pecahan bersambungan]]
| <math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}</math>
|-
| [[Nombor algebra|Bentuk algebra]]
| <math>\frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math>
|-
| [[Siri tak terhingga]]
| <math>\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}</math><br />
|}

Dua kuantiti ''a'' dan ''b'' dapat dikatakan berada dalam ''nisbah keemasan'' ''φ'' jika:

:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.</math>

Persamaan ini dengan jelas mentakrifkan ''φ''.

Pecahan di sebelah kiri dapat dialih kepada:<math>1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi}.</math>

Pendaraban dengan ''φ'' menghasilkan

:<math>\varphi + 1 = \varphi^2,</math>

yang dapat disusun semula menjadi

:<math>{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.</math>

Satu-satunya penyelesaian positif bagi [[persamaan kuadratik]] ini ialah

:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\dots\,</math>

==Sejarah==
[[Image:Phi uc lc.svg|thumb|200px|Ahli matematik [[Mark Barr]] telah mencadangkan penggunaan huruf pertama bagi nama pengarca Yunani [[Phidias]], ''phi'', untuk mewakili nisbah keemasan. Kebiasaannya, huruf kecil (φ) yang digunakan. Kadang-kala huruf besar (Φ) digunakan bagi [[angka silangan]] nisbah keemasan, 1/φ.<ref name="MathWorld GR Conjugate"/>]]

Nisbah keemasan telah mempesonakan intektual Barat dari pelbagai minat untuk sekurang-kurangan 2400 tahun. Menurut [[Mario Livio]]:
{{quote|Beberapa pemikir matematik terhebat dalam semua zaman, daripada [[Pythagoras]] dan [[Euclid]] pada zaman [[Yunani Purba]], melalui ahli matematik Itali Zaman Pertengahan [[Fibonacci|Leonardo of Pisa]] dan ahli astronomi Renaissance [[Roger Penrose]], telah menghabiskan masa yang panjang semata-mata mengkaji nisbah yang ringkas ini dan sifat-sifatnya.
Tetapi pesona terhadap Nisbah Keemasan tidak terhad kepada ahli matematik sahaja.
Ahli biologi, pelukis, pemuzik; ahli sejarah, arkitek, ahli psikologi, malahan pengamal ilmu mistik turut memikir dan memperkatakan asas keberadaan dan daya tarikannya. Memang benar, adalah adil untuk mengatakan bahawa Nisbah Keemasan telah memberi inspirasi kepada para pemikir dalam semua disiplin berbanding nombor lain dalam sejarah matematik.
<ref>Mario Livio,''The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number'', p.6</ref>}}

Ahli-ahli matematik [[Yunani Purba]] adalah yang pertama mengkaji apa yang kita panggil nisbah keemasan kerana kerap muncul dalam [[geometri]]. Pembahagian satu garisan kepada "nisbah yang lampau dan purata" (seksyen keemasan) adalah penting dalam geometri [[pentagram]] dan [[pentagon]] tetap. Orang Yunani lazimnya mengaitkan penemuan konsep ini dengan [[Pythagoras]] atau para pengikutnya. Pentagram tetap yang mmepunyai satu pentagon tetap yang tertera di dalamnya merupakan simbol pengikut Pythagoras.

''[[Elemen (Euclid)|Elements]]'' ([[bahasa Yunani]]: {{polytonic|Στοιχεῖα}}) karangan [[Euclid]] memberikan takrifan bertulis yang pertama mengenai apa yang kini dinamakan sebagai nisbah keemasan: "Satu garisan lurus dikatakan ''terpotong dalam nisbah lampau dan purata'' apabila keseluruhan garisan itu pada bahagian yang lebih besar, begitu juga yang lebih besar pada yang kurang."<ref name="Elements 6.3"/> Euclid menjelaskan binaan bagi pemotongan (pembahagian) satu garisan " dalam nisbah yang lampau dan purata", yakni nisbah keemasan.<ref>Euclid, ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Elements]'', Book 6, Proposition 30.</ref> Di serata tempat dalam ''Elements'', beberapa dalil ([[teorem]] dalam istilah moden) dan pembuktiannya menggunakan nisbah keemasan.<ref>Euclid, ''[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html Elements]'', Book 2, Proposition 11; Book 4, Propositions 10–11; Book 13, Propositions 1–6, 8–11, 16–18.</ref> Sebahagian dalil-dalil ini menunjukkan bahawa nisbah keemasan adalah [[nombor tak nisbah]].

"Nisbah lampau dan purata" merupakan istilah utama yang digunakan dari kurun ke-3 SM<ref name="Elements 6.3"/> hingga kurun ke-18 M.

Sejarah moden nisbah keemasan bermula dengan ''[[De divina proportione]]'' tulisan [[Luca Pacioli]] pada tahun 1509, yang memukau ramai pelukis, arkitek, ahli sains, dan ahli mistik dengan sifat-sifat nisbah keemasan.

[[Image:Michael Maestlin.jpg|right|thumb|[[Michael Maestlin]], orang pertama yang menerbitkan anggaran perpuluhan nisbah keemasan pada tahun 1597.]]

Anggaran pertama yang diketahui mengenai (angka silangan) nisbah keemasan dengan [[pecahan perpuluhan]], dinyatakan sebagai "kira-kira 0.6180340," telah ditulis pada tahun 1597 oleh [[Michael Maestlin]] dari [[University of Tübingen]] di dalam sepucuk surat kepada bekas pelajarnya [[Johannes Kepler]].<ref>{{Cite web| url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html | title = The Golden Ratio | work = The MacTutor History of Mathematics archive | accessdate = 2007-09-18}}</ref>

Sejak kurun ke-20, nisbah keemasan telah diwakili oleh [[abjad Yunani]] '''''Φ''''' atau '''''φ''''' ([[phi]], bersempena [[Phidias]], seorang pengarca yang dikatakan telah menggunakannya) atau kurang lazim oleh '''''τ''''' ([[tau]], huruf pertama [[Yunani Purba]] kata akar τομή—yang bererti ''potong'').<ref name="livio"/><ref>{{Mathworld|title=Golden Ratio|urlname=GoldenRatio}}</ref>

===Garis masa===
Garis masa menurut Priya Hemenway.<ref name=Hemenway,P>{{Cite book
 | last = Hemenway
 | first = Priya
 | title = Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science
 | year = 2005
 | publisher = Sterling
 | location = New York
 | isbn = 1-4027-3522-7
 | pages = 20–21
 }}</ref>
* [[Phidias]] (490–430 SM) membina patung-patung [[Parthenon]] yang kelihatan mengandungi nisbah keemasan.
* [[Plato]] (427–347 SM), dalam ''[[Timaeus (dialog)|Timaeus]]''nya mengambarkan lima pepejal tetap yang mungkin ([[Pepejal Plato]]):[[tetrahedron]], [[kubus]], [[oktahedron]], [[dodekahedron]] dan [[ikosahedron]], sesetengahnya yang berkait rapat dengan nisbah keemasan.<ref>{{Cite web
| last = Plato
| authorlink = Plato
| year = 360 BC) (Benjamin Jowett trans.
| url = http://classics.mit.edu/Plato/timaeus.html
| title = Timaeus
| publisher = The Internet Classics Archive
| accessdate = May 30, 2006
}}</ref>
* [[Euclid]] (c. 325–c. 265 SM), dalam ''[[Elements]]'', mencatatkan takrifan terawal nisbah keemasan yang disebutkannya sebagai "nisbah lampau dan purata" (bahasa Yunani: ἄκρος καὶ μέσος λόγος).<ref name="Elements 6.3"/>
* [[Fibonacci]] (1170–1250) menyebutkan [[siri nombor]] yang kini dinamakan sempenanya dalam ''[[Liber Abaci]]''; nisbah bagi unsur-unsur berjujukan dalam [[nombor Fibonacci]] mendekati nisbah keemasan secara simptot.
* [[Luca Pacioli]] (1445–1517) mentakrifkan nisbah keemasan sebagai "perkadaran Ilahi" dalam bukunya, ''Divina Proportione''.
* [[Johannes Kepler]] (1571–1630) membuktikan bahawa nisbah keemasan adalah batas bagi nisbah nombor Fibonacci yang berjujukan,<ref name=tatt>
{{Cite book
 | title = Elementary number theory in nine chapters
 | edition = 2nd
 | author = James Joseph Tattersall
 | publisher = Cambridge University Press
 | year = 2005
 | isbn = 9780521850148
 | page = 28
 | url = http://books.google.com/?id=QGgLbf2oFUYC&pg=PA29&dq=golden-ratio+limit+fibonacci+ratio+kepler&q=golden-ratio%20limit%20fibonacci%20ratio%20kepler
 }}</ref> dan menggambarkan nisbah keemasan sebagai "permata berharga": "Geometri mempunyai dua khazanah agung: satu adalah [[Theorem Pythagoras]], dan yang satu lagi adalah pembahagian satu garisan kepada nisbah yang lampau dan purata; kita boleh bandingkan yang pertama untuk menyukat emas, manakala yang kedua untuk batu permata." Kedua-dua harta ini digabungkan dalam [[segitiga Kepler]].
* [[Charles Bonnet]] (1720–1793) menyatakan bahawa terdapat dua siri Fibonacci berturutan yang kerap dalam [[filotaksis]] pilin bagi tumbuh-tumbuhan yang bergerak [[arah jam]] dan lawan arah jam.
* [[Martin Ohm]] (1792–1872) dipercayai menjadi orang pertama yang menggunakan istilah ''goldener Schnitt'' (seksyen keemasan) untuk menggambarkan nisbah ini pada tahun 1835.<ref>{{Cite book| title = Die Macht der Zahl: Was die Numerologie uns weismachen will | author = Underwood Dudley | publisher = Springer | year = 1999 | isbn = 3-7643-5978-1 | pages = 245 | url = http://books.google.com/?id=r6WpMO_hREYC&pg=PA245&dq=%22goldener+Schnitt%22+ohm }}</ref>
* [[Edouard Lucas]] (1842–1891) memberi nama kepada jujukan nombor yang kini dikenali sebagai jujukan Fibonacci.
* Mark Barr (kurun ke-20) mencadangkan abjad Yunani phi ('''φ'''), huruf besar bagi nama pengarca Yunani Phidias sebagai satu [[simbol]] bagi nisbah keemasan.
<ref>{{Cite book
| last = Cook
| first = Theodore Andrea
| authorlink =
| title = The Curves of Life
| origyear = 1914
| url = http://books.google.com/?id=ea-TStM-07EC&pg=PA420&dq=phi+mark+barr+intitle:The+intitle:Curves+intitle:of+intitle:Life
| year = 1979
| publisher = Dover Publications
| location = New York
| isbn = 0-486-23701-X
}}</ref>
* [[Roger Penrose]] (l.1931) menemui corak simetri yang menggunakan nisbah keemasan dalam bidang [[jubin tak berkala]] yang membawa kepada penemuan baru mengenai [[kuasikristal]]

==Penggunaan dan pemerhatian==
===Estetik===
{{See also|Sejarah estetik (pra-kurun ke-20)}}

''De Divina Proportione'', sebuah karya tiga jilid oleh [[Luca Pacioli]] telah diterbitkan pada tahun 1509. Pacioli, seorang [[rahib]] [[Franciscan]], amat dikenali sebagai seorang ahli matematik, namun dia juga terlatih dan amat berminat dengan seni. ''De Divina Proportione'' menerokai matematik nisbah keemasan. Walaupun kerap dikatakan bahawa Pacioli mendukung penggunaan nisbah keemasan untuk memberikan perkadaran yang menyenangkan dan harmoni, Livio menegaskan bahawa penafsiran itu berdasarkan satu kesilapan pada tahun 1799, dan bahawa Pacioli sebenarnya mendukung sistem [[Vitruvius|Vitruvian]] bagi perkadaran nisbah.<ref name="livio"/> Pacioli juga nampak kepentingan keagamaan Katolik dalam nisbah itu, yang menyumbang pada judul karyanya. Mengandungi gambarajah-gambarajah bongkah sekata oleh [[Leonardo Da Vinci]], kawan lama dan rakan usaha sama Pacioli, ''De Divina Proportione'' memberi pengaruh besar terhadap generasi pelukis dan juga arkitek.{{Citation needed|date=February 2011}}

===Senibina===

[[File:Acropolis of Athens 01361.JPG|thumb|right|250px|Kononnya banyak perkadaran pada [[Parthenon]] mempamerkan nisbah keemasan.]]

Muka bangunan [[Parthenon]] dan juga unsur-unsur padanya dan tempat lain dikatakan oleh sesetengah orang diterap lilit oleh segiempat tepat keemasan.<ref>Van Mersbergen, Audrey M., "Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic", ''Communication Quarterly'', Vol. 46 No. 2, 1998, pp 194-213.</ref> Sarjana-sarjana lain menafikan bahawa orang Yunani memiliki sebarang kaitan estetik dengan nisbah keemasan.
Contohnya, ujar Midhat J. Gazalé, "Bagaimana pun, sifat-sifat matematik nisbah keemasan tidak pernah dikaji sehinggalah zaman Euclid. Dalam buku ''Elements'' (308 SM), ahli matematik Yunani itu hanya menganggap nombor tersebut sebagai nombor tak nisbah yang menarik, dalam kaitan dengan nisbah-nisbah pertengahan dan melampau. Keberlakuannya dalam pentagon dan dekagon sekata telah diperhatikan seperti yang sepatutnya, begitu juga dalam dodekahedron ([[polihedron sekata]] dengan 12 mukanya adalah pentagon sekata). Perkara itu dapat menjadi contoh bahawa Euclid secara samar menyifatkan nombor tersebut sebagai apa yang sebenarnya ia tanpa mengaitkannya dengan selain daripada sifat-sifat sebenarnya, bertentangan dengan generasi-generasi mistik yang mengikut kemudian."<ref>Midhat J. Gazalé , ''Gnomon'', Princeton University Press, 1999. ISBN 0-691-00514-1</ref> Dan ujar [[Keith Devlin]], "Pastinya dakwaan yang kerap didengari bahawa Parthenon di Athens berasaskan nisbah keemasan tidak disokong oleh pengukuran sebenar. Hakikatnya, keseluruhan cerita tentang orang Yunani dan nisbah keemasan kelihatan tidak mempunyai asas. Satu perkara yang kita ketahui dengan pasti ialah bahawa Euclid, dalam buku teks terkenalnya ''Elements'' yang ditulis sekitar 300 SM, menunjukkan cara mengira nilainya."<ref>Keith J. Devlin ''The Math Instinct: Why You're A Mathematical Genius (Along With Lobsters, Birds, Cats, And Dogs)'', [http://books.google.com/books?id=eRD9gYk2r6oC&pg=PA108 p. 108]. New York: Thunder's Mouth Press, 2005, ISBN 1-56025-672-9</ref> Sumber-sumber sezaman terdekat seperti [[Vitruvius]] membincangkan sepenuhnya perkadaran-perkadaran yang dapat diungkapkan dalam keseluruhan nombor-nombor yakni setara sebagai bertentangan dengan perkadaran tak nisbah.

Satu analisis geometri pada tahun 2004 dari kajian awal mengenai [[Masjid Agung Kairouan]] mendedahkan penggunaan nisbah keemasan secara konsisten pada segenap rekabentuk menurut Boussora dan Mazouz.<ref>Boussora, Kenza and Mazouz, Said, ''The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan'', Nexus Network Journal, vol. 6 no. 1 (Spring 2004), [http://www.emis.de/journals/NNJ/BouMaz.html]</ref> Mereka menemui nisbah-nisbah yang hampir dengan nisbah keemasan di dalam keseluruhan perkadaran pelan dan di dalam dimensi ruang solat, halaman dan [[menara azan]]. Bagaimana pun, para penulis tersebut mencatatkan bahawa kawasan-kawasan yang nisbahnya menghampiri nisbah keemasan ditemui bukan sebahagian daripada binaan asal, dan memberi teori bahawa unsur-unsur ini ditambah semasa pembinaan semula masjid itu.

==Rujukan dan notakaki==
<!--See [[Wikipedia:Footnotes]] for an explanation of how to generate footnotes using the <references/)> tags-->
{{Reflist|2}}

==Pautan luar==
<!--======================== {{No more links}} ============================
    | PLEASE BE CAUTIOUS IN ADDING MORE LINKS TO THIS ARTICLE. Wikipedia  |
    | is not a collection of links nor should it be used for advertising. |
    |                                                                     |
    |           Excessive or inappropriate links WILL BE DELETED.         |
    | See [[Wikipedia:External links]] & [[Wikipedia:Spam]] for details.  |
    |                                                                     |
    | If there are already plentiful links, please propose additions or   |
    | replacements on this article's discussion page, or submit your link |
    | to the relevant category at the Open Directory Project (dmoz.org)   |
    | and link back to that category using the {{dmoz}} template.         |
    ======================= {{No more links}} =============================-->
{{Commons category|Golden ratio}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSection/ "Golden Section"] by Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
*{{Cite web
| url = http://www.contracosta.cc.ca.us/math/pentagrm.htm
| title = The Pentagram & The Golden Ratio
| accessdate = December 1, 2007
| last = Green
| first = Thomas M.
| authorlink = 
| date = updated June 20, 2005
| archiveurl = https://web.archive.org/web/20071105084747/http://www.contracosta.cc.ca.us/math/pentagrm.htm
| archivedate = 2007-11-05
| url-status = dead
}} Geometry instruction with problems to solve.
* {{Cite web
| url = http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi.html
| title = The Golden section ratio: Phi
| last = Knott
| first = Ron
| authorlink =
| date =
| archiveurl =
| archivedate =
}} Information and activities by a mathematics professor.
* {{MathWorld|title=Golden Ratio|urlname=GoldenRatio}}
* {{Cite web|url=http://www.physorg.com/news180531747.html |title=Researcher explains mystery of golden ratio |work=[[PhysOrg]] |date=December 21, 2009 |postscript=<!--None--> }}.

{{DEFAULTSORT:Golden ratio}}
[[Category:Nisbah keemasan| ]]
[[Category:Nombor tak nisbah]]
[[Category:Pemalar matematik]]
[[Category:Geometri satah Euclid]]
[[Category:Ciptaan orang Yunani]]
[[Category:Teori seni tampak]]