Lihat sumber bagi Kamiran

[[Fail:Integral example.svg|thumb|Kamiran tentu suatu fungsi boleh diwakilkan sebagai luas bertanda kawasan yang dibatasi oleh grafnya]]
{{Calculus|cTopic=Integration}}
'''Kamiran''' atau '''kamilan''' ({{lang-ar|تكامل}}) ialah satu konsep dalam [[matematik]] yang membentuk antara operasi-operasi utama dalam [[kalkulus]] bersama-sama [[pembezaan]]. Diberi [[fungsi (matematik)|fungsi]] ''ƒ'' dengan satu [[pemboleh ubah]] [[nombor nyata|nyata]] ''x'', dan [[Julat (matematik)|julat]] nilai ''x'' itu adalah dari ''a'' ke ''b'', <nowiki>[</nowiki>''a'',&nbsp;''b''<nowiki>]</nowiki> pada [[garis nyata]], ''kamiran tentu'' ditakrifkan sebagai:

:<math>\int_a^b f(x)\,dx \, ,</math>

dan ditakrifkan secara tidak formal sebagai [[keluasan|luas]] bertanda bersih kawasan di satah ''xy'' yang dibatasi dengan [[graf fungsi|graf]] ''ƒ'', paksi-''x'', dan garis menegak ''x''&nbsp;= ''a'' dan ''x''&nbsp;=&nbsp;''b''.

Istilah ''kamiran'' juga boleh merujuk kepada tanggapan [[antiterbitan]], fungsi ''F'' dengan [[pembezaan|terbitan]] ialah fungsi diberi ''ƒ''. Dalam kes ini, ia dipanggil sebagai ''kamiran tak tentu'', manakala kamiran yang bakal dibincangkan dalam rencana ini dipanggil ''kamiran tentu''. Sesetengah penulis mengekalkan perbezaan antara antiterbitan dan kamiran tak tentu.

Prinsip kamiran telah diterbitkan oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Leibniz]] secara berasingan (mereka berada di tempat yang berbeza, namun menerbitkan hasil kerja pada waktu yang sama) pada lewat kurun ke-17. Melalui teori asas kalkulus yang juga diterbitkan oleh mereka berdua, kamiran dikaitkan dengan [[pembezaan]] yang telah diketahui umum ketika itu. Perkaitan itu menyatakan bahawa jika ''f'' ialah satu fungsi selanjar dengan nilai nyata serta had [a, b], maka apabila antiterbitan ''F'' untuk ''f'' diketahui, kamiran tentu ''f'' dalam had yang diberikan adalah
:::<math>\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\, .</math>

Kamiran dan terbitan adalah asas kalkulus. Kedua-duanya banyak diguna pakai dalam pelbagai bidang sains dan [[kejuruteraan]]. Selain kaedah di atas, kaedah [[Bernhard Riemann]] juga boleh diterima. Menurut kaedah ini, kawasan di bawah suatu garis itu dipecahkan kepada kepingan-kepingan mencancang yang kecil. Untuk mencari kamiran bagi fungsi garis tadi, luas setiap kepingan dikira dan dijumlahkan. Namun kaedah ini mempunyai batasnya, terutama dalam aplikasi. Bermula abad ke-19, kaedah-kaedah yang lebih canggih muncul, di mana jenis-jenis kamiran serta kawasan di mana kamiran dilakukan semakin kompleks. Sebagai contoh, [[kamiran garisan]] ialah kamiran untuk fungsi dengan dua atau tiga anu, dan had [''a, b''] diubah kepada satu lengkungan yang menyambungkan dua titik dalam satu satah atau ruang. [[Kamiran permukaan]] pula merupakan kamiran sekeping permukaan dalam ruang tiga matra. Kaedah-kaedah ini muncul pada mula-mulanya melalui perkembangan dalam fizik. Kamiran memainkan peranan penting dalam banyak hukum fizik, terutamanya dalam [[elektrodinamik]]. Kini, terdapat banyak kaedah moden untuk menyelesaikan kamiran. Salah satu kaedah yang terkenal dipanggil [[kamiran Lebesgue]] yang diterbitkan oleh [[Henri Lebesgue]].

{{TOClimit|limit=2}}

== Sejarah ==
{{lihat juga|Sejarah kalkulus}}
=== Kamiran sebelum penerbitan kalkulus ===

Kamiran telah diguna pakai sejak zaman Mesir purba sejak sekitar 1800 SM, di mana Papirus Matematik Moscow telah menunjukkan formula untuk menyelesaikan masalah berkaitan pembinaan piramid. Teknik pertama yang sistematik dan tersusun dalam menyelesaikan masalah kamiran adalah kaedah penyusutan (exhaustion method) oleh [[Eudoxus]] pada sekitar 370 SM. Kaedah ini digunakan untuk mencari luas kawasan dengan memecahkan kawasan itu kepada kawasan-kawasan kecil yang luasnya diketahui. Kaedah ini juga boleh digunakan untuk mencari isi padu. [[Archimedes]] menggunakan kaedah penyusutan untuk mengira nilai [[pi]], luas [[bulatan]] dan luas [[parabola]]. Kaedah yang hampir sama telah dibina oleh ahli matematik Cina [[Liu Hui]], juga untuk mencari luas bulatan. Kaedah Liu Hui pula dikembangkan oleh pasangan ayah dan anak Zu Chongzhi dan Zu Geng untuk mencari isi padu sfera.<ref>{{citation | last1=Shea | first1=Marilyn | title=Biography of Zu Chongzhi | date=May 2007 | url=http://hua.umf.maine.edu/China/astronomy/tianpage/0014ZuChongzhi9296bw.html | publisher=University of Maine | accessdate=9 January 2009}}</br>{{Citation | last1=Katz | first1=Victor J. | title=A History of Mathematics, Brief Version | publisher=[[Addison-Wesley]] | isbn=978-0-321-16193-2 | year=2004 | pages=125–126}}</ref> Pada abad yang sama, ahli matematik India Aryabhata menggunakan kaedah yang hampir sama untuk mencari luas [[kiub]].<ref>Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", ''Mathematics Magazine'' '''68''' (3): 163-174 [165]</ref>

Langkah seterusnya dalam perkembangan kamiran berlaku di Iraq apabila ahli matematik Islam abad ke-11, [[Ibn Al-Haitham]] merancang satu masalah yang kini dikenali sebagai "masalah Al-Haitham" dalam buku fiziknya ''Kitab Al-Manazir'' ("Kitab Penglihatan"). Masalah ini membawa kepada persamaan darjah keempat (iaitu persamaan yang melibatkan kuasa 4 atau ''x''<sup>4</sup>). Semasa menyelesaikan permasalahan ini, beliau telah menggunakan kamiran untuk mencari isi padu [[paraboloid]]. Menggunakan induksi matematik melalui pengiraan, beliau telah mengasaskan kamiran bagi polinomial darjah keempat. Namun begitu, Ibn Al-Haitham tidak mengambil berat akan polinomial dengan darjah lebih tinggi daripada 4.<ref name=Katz>Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", ''Mathematics Magazine'' '''68''' (3): 163–174 [165–9 & 173–4]</ref> Selain Ibn Al-Haitham, idea-idea tentang kamiran juga boleh ditemui dalam buku astronomi ''Siddhanta Shiromani'' yang ditulis oleh ahli matematik India Bhaskara II pada kurun ke-12.

Kemajuan seterusnya muncul pada kurun ke-16. Pada masa ini asas kalkulus moden telah tercipta melalui pengiraan yang dibuat oleh Cavalieri dengan [[prinsip Cavalieri]] dan kerja-kerja Fermat. Langkah untuk penciptaan kalkulus moden ini semakin dikukuhkan oleh Barrow dan [[Torricelli]] pada awal kurun ke-17 apabila kedua-duanya menyatakan terdapat hubungan antara pembezaan dan kamiran.

Pada masa yang hampir sama, ahli matematik Jepun juga banyak membuat pengiraan kamiran, terutama [[Seki Kōwa]].<ref>{{Cite web |url=http://www2.gol.com/users/coynerhm/0598rothman.html |title=salinan arkib |access-date=2009-10-28 |archive-date=2006-12-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20061230062231/http://www2.gol.com/users/coynerhm/0598rothman.html |url-status=dead }}</ref> Beliau membuat beberapa sumbangan seperti mengaplikasikan kaedah penyusutan untuk mencari luas kawasan melalui kamiran.

=== Newton and Leibniz ===
Perkembangan besar dalam kamiran muncul pada abad ke-17 apabila kedua-dua Newton dan Leibniz menerbitkan [[teori asas kalkulus]] (''fundamental theorem of calculus''). Teori ini membuktikan kaitan antara kamiran dan pembezaan. Perkaitan ini, dicampur dengan pembezaan yang jauh lebih senang daripada kamiran, digunakan oleh kedua-duanya untuk membuktikan kewujudan kamiran dengan sistematik dan saintifik. Kamiran menyelesaikan banyak masalah yang gagal diselesaikan dengan pembezaan. Sesuatu fungsi yang berterusan boleh dianalisa dengan tepat melalui kalkulus yang diberi nama ''infinitesimal calculus'' ini. Kerja-kerja Newton dan Leibniz ini akhirnya dipanggil kalkulus moden, dimana tatanama untuk kamiran diambil secara langsung dari kerja Leibniz.
<!--- Please, do not remove: helpful for verification
The last sentence originally said 'work of Newton and Leibniz', but for integrals, only Leibniz's notation is used. --->

== Lihat juga ==
{{portalpar|Matematik}}
<div style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* [[Senarai kamiran]]
* [[Antiterbitan]]
* [[Pengamiran nombor]]
* [[Persamaan kamiran]]
* [[Pengamiran Riemann]]
* [[Pengamiran Riemann-Stieltjes]]
* [[Pengamiran Henstock–Kurzweil]]
* [[Pengamiran Lebesgue]]
* [[Pengamiran Darboux]]
* [[Penghasiltambahan Riemann]]
* [[Pengamiran hasil darab]]
</div>

== Nota ==
{{reflist}}

== Rujukan ==
* {{citation | last=Apostol | first=Tom M. | author-link=Tom M. Apostol | title=Calculus, Vol.&nbsp;1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra | year=1967 | edition=2nd | publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] | isbn=978-0-471-00005-1}}
* {{citation | last=Bourbaki| first=Nicolas | author-link=Nicolas Bourbaki | title=Integration I |  year=2004 | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]] | isbn=3-540-41129-1}}. In particular chapters III and IV.
* {{citation | last=Burton | first=David M. | title=The History of Mathematics: An Introduction | edition=6<sup>th</sup> | year=2005<!--November 8--> | publisher=[[McGraw-Hill]] | isbn=978-0-07-305189-5 | page=p.&nbsp;359}}
* {{citation | last=Cajori | first=Florian | author-link=Florian Cajori | title=A History Of Mathematical Notations Volume II | year=1929 | publisher=[[Open Court Publishing Company|Open Court Publishing]] | url=http://www.archive.org/details/historyofmathema027671mbp |  isbn=978-0-486-67766-8 | pages=247–252}}
* {{citation | last1=Dahlquist | first1=Germund | author1-link=Germund Dahlquist | last2=Björck | first2=Åke | title=Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I | publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] | location=Philadelphia | year=2008 | url=http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html | chapter=Chapter&nbsp;5: Numerical Integration | accessdate=2009-10-28 | archive-date=2007-06-15 | archive-url=https://web.archive.org/web/20070615185623/http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html | url-status=dead }}
* {{citation | last = Folland | first = Gerald B.| title=Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications | edition=1st | publisher=[[John Wiley & Sons]] | year = 1984 | isbn=978-0-471-80958-6 }}
* {{citation | last=Fourier | first=Jean Baptiste Joseph | author-link=Joseph Fourier | title=Théorie analytique de la chaleur | year=1822 | publisher=Chez Firmin Didot, père et fils | url=http://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ | page=&sect;231}}<br /
>Available in translation as {{citation | last=Fourier | first=Joseph | title=The analytical theory of heat | year=1878<!--original 1822--> | publisher=[[Cambridge University Press]] | url=http://www.archive.org/details/analyticaltheory00fourrich |  others=Freeman, Alexander (trans.) | pages=pp.&nbsp;200–201}}
* {{citation | editor-last=Heath | editor-first=T. L. | editor-link=T. L. Heath | title = The Works of Archimedes | year = 2002 | publisher = [[Dover Publications|Dover]] | isbn = 978-0-486-42084-4 | url = http://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp }}<br />(Originally published by [[Cambridge University Press]], 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
* {{citation | last=Hildebrandt | first=T. H. | author-link= | title=Integration in abstract spaces | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | volume=59 | number=2 | year=1953 | pages=111–139 | url=http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183517761 | issn=0273-0979}}
* {{citation | last1=Kahaner | first1=David | last2=Moler | first2=Cleve | author2-link=Cleve Moler | last3=Nash | first3=Stephen | title=Numerical Methods and Software | year=1989 | publisher=[[Prentice Hall]] | chapter=Chapter&nbsp;5: Numerical Quadrature | isbn=978-0-13-627258-8 }}
* {{citation | last=Leibniz | first=Gottfried Wilhelm | author-link=Gottfried Wilhelm Leibniz | title=Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band | editor-last=Gerhardt | editor-first=Karl Immanuel | place=Berlin | publisher=Mayer &amp; Müller | year=1899 | url=http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001}}
<!--
* ''Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Hrsg. von C. I. Gerhardt. Mit Unterstützung der Königl. Preussischen Akademie der Wissenschaften.''<br /
>Leibniz, Gottfried Wilhelm, Freiherr von, 1646–1716., Gerhardt, Karl Immanuel, ed. 1816–1899, Berlin: Mayer & Müller, 1899. [http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001]
 -->
* {{citation | last=Miller | first=Jeff | title=Earliest Uses of Symbols of Calculus | url=http://members.aol.com/jeff570/calculus.html | access-date=2007-06-02 | archiveurl=https://web.archive.org/web/19981205110714/http://members.aol.com/jeff570/calculus.html | archivedate=1998-12-05 | url-status=dead }}
* {{citation | last1=O’Connor | first1=J. J. | last2=Robertson | first2=E. F. | title=A history of the calculus | year=1996 | url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html | access-date=2007-07-09 }}
* {{citation | last=Rudin | first=Walter | author-link=Walter Rudin | title=Real and Complex Analysis | year=1987 | edition=International | publisher=[[McGraw-Hill]] | chapter=Chapter&nbsp;1: Abstract Integration | isbn=978-0-07-100276-9}}
* {{citation | last=Saks | first=Stanisław | author-link=Stanisław Saks | title=Theory of the integral | url=http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10&jez= | edition= English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised | publisher= Dover | place=New York | year=1964 }} 
* {{citation | last1=Stoer | first1=Josef | last2=Bulirsch | first2=Roland | year=2002 | title=Introduction to Numerical Analysis | edition=3rd | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | chapter=Chapter&nbsp;3: Topics in Integration | isbn=978-0-387-95452-3 }}.
* {{citation | author=W3C | year=2006<!--January--> | title=Arabic mathematical notation<!--W3C Interest Group Note 31--> |  url=http://www.w3.org/TR/arabic-math/}}

== Pautan luar ==
{{wikibooks|Kalkulus}}
* [http://integrals.wolfram.com/ The Integrator] by [[Wolfram Research]]
* [http://mathworld.wolfram.com/RiemannSum.html Riemann Sum] by [[Wolfram Research]]
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.en Function Calculator] from [http://wims.unice.fr WIMS]
* [http://user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=integral Mathematical Assistant on Web] online calculation of integrals, allows to integrate in small steps (includes also hints for next step which cover  techniques  like by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others, powered by [[Maxima (software)]])
* [http://eprints.utm.my/3866/ Berkenaan persamaan kamiran rantau] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100404110501/http://eprints.utm.my/3866/ |date=2010-04-04 }}

===Buku dalam talian===
* Keisler, H. Jerome, [http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals], University of Wisconsin
* Stroyan, K.D., [http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm |date=2005-09-11 }}, University of Iowa
* Mauch, Sean, [http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html ''Sean's Applied Math Book''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060415161115/http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html |date=2006-04-15 }}, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
* Crowell, Benjamin, [http://www.lightandmatter.com/calc/ ''Calculus''], Fullerton College, an online textbook
* Garrett, Paul, [http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/ Notes on First-Year Calculus]
* Hussain, Faraz, [http://www.understandingcalculus.com Understanding Calculus], an online textbook
* Kowalk, W.P., [http://einstein.informatik.uni-oldenburg.de/20910.html ''Integration Theory''], University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
* Sloughter, Dan, [http://math.furman.edu/~dcs/book Difference Equations to Differential Equations], an introduction to calculus
* [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/integration.html Numerical Methods of Integration] at ''Holistic Numerical Methods Institute''
* P.S. Wang, [http://www.lcs.mit.edu/publications/specpub.php?id=660 Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation] (1972) - a cookbook of definite integral techniques

{{Kawalan kewibawaan}}

[[Kategori:Kalkulus kamiran]]
[[Kategori:Kamiran]]
[[Kategori:Fungsi dan pemetaan]]
[[Kategori:Pengoperasi linear dalam kalkulus]]