Lihat sumber bagi Fungsi

{{DISPLAYTITLE:Fungsi (matematik)}}
[[Fail:Function illustration.svg|thumb|243x243px|Hubungan fungsi unsur set <math>X</math> (domain) dipetakan kepada unsur set <math>Y</math>  (kodomain).]]
'''Fungsi''' merupakan suatu ''hubungan ''banyak-ke-satu atau [[Fungsi Injektif|satu-ke-satu]] antara unsur [[set]] ''<math>X</math> ''yang dipanggil sebagai '''''domain''' ''kepada unsur set <math>Y</math> yang dipanggil sebagai'' '''kodomain'''. ''Setiap unsur dalam set <math>X</math> dipanggil sebagai 'objek' atau 'input' manakala setiap unsur di dalam set <math>Y</math> dipanggil sebagai 'imej' atau 'output'. 

== Tatatanda Fungsi ==
Terdapat beberapa notasi bagi menulis suatu '''hubungan fungsi''' <math>f</math> dimana input '''<math>x</math>''' dipetakan kepada output '''<math>y</math>'''.

* Notasi Fungsi: <big><math>f(x)=y</math></big>
* Notasi Anak Panah: <big><math>f:x\mapsto y</math></big>
* Notasi Indeks: <big><math>f_x=y</math></big>

[[Fail:Function machine2.svg|thumb|243x243px|Anologi fungsi mana suatu fungsi <math>f</math> dicatat sebagai suatu mesen yang menerima suatu input '''<math>x</math>''' dan menghasilkan suatu output.]]
Sebagai contoh, suatu hubungan '''fungsi''' <math>g</math> dimana setiap input '''<math>x</math>''' akan menghasil output '''<math>2x+1</math>''' boleh ditulis sebagai <math>g(x)=2x+1</math>.

Apabila kita inputkan suatu nilai kedalam suatu fungsi, kita hanya mesti gantikan semua pemboleh ubah dengan nilai itu. Sebagai contoh, katakan kita mempunyai suatu fungsi '''<math>h</math>''', dimana <math>h(z)=z^2+1</math><big>.</big> Untuk mencari nilai '''<math>h(3)</math>,''' kita hanya mesti gantikan semua pemboleh ubah '''<math>z</math>''' dengan '''<math>3</math>'''. Jadi;

# <math>h(z)=z^2+1</math>
# <math>h(3)=(3)^2+1</math>,
# <math>h(3)=9+1</math>
# <math>h(3)=10</math>
# ''Maka'', <math>h(3)=10</math>

Walaupun nama fungsi selalunya dilabel dengan huruf [[abjad Rumi]], fungsi kebanyakannya juga dilabelkan dengan huruf [[abjad Yunani]] atau suatu perkataan, contohnya:

* '''<math>\zeta (s)</math>''', ''Fungsi Riemann-Zeta''
* <math>\pi (x)</math>, ''Fungsi Kiraan Nombor Perdana''
* <math>\Gamma (z)</math>, ''Fungsi Gamma''
* <math>Rayo (n)</math>, [[:en:Rayo's_number|''Fungsi Rayo'']]
* <math>TREE (n)</math>, [[:en:Kruskal's_tree_theorem|''Fungsi TREE'']]

'''I'''nput hanya boleh dilabelkan dengan huruf abjad Rumi dan Yunani. '''<math>x</math>''' adalah nama input yang paling popular untuk digunakan sebagai nama input serta dengan '''<math>n</math>''' digunakan sebagai nama input apabila suatu fungsi hanya terima input [[Integer|nombor bulat]] dan '''<math>z</math>''' selalunya digunakan apabila suatu fungsi boleh menerima [[nombor kompleks]]. Namun begitu, ia juga penting untuk diperhatikan bahawa pengarang dan ahli matematik mungkin lebih suka memilihi huruf yang berbeza dalam kerja mereka.

== Domain, Kodomain dan Julat ==

=== Domain ===
Domain adalah set bagi semua input yang boleh diterima oleh fungsi. Ia biasanya ditulis dalam notasi set dan notasi interval. Berikut adalah contoh asas:<blockquote>Katakan suatu fungsi <math>f</math> dimana <math>f(x)= \frac{1}{x}</math> . Domain bagi fungsi ini adalah <math>(-\infty,0)\cup(0,+ \infty)</math> atau <math>\mathbb{R}\setminus\{0\}</math> kerana apabila <math>0</math> dimasukkan kedalam fungsi itu, ia menghasilkan ''ralat bahagian dengan 0''. Maka, <math>f(0)</math> tidak ditakrif dan <math>0</math> tidak disertakan dalam domainnya</blockquote>Ini adalah satu lagi contoh asas:<blockquote>Katakan suatu fungsi <math>A</math> dimana <math>A(k)=0^k</math>. Domain bagi fungsi ini boleh ditulis sebagai <math>(0,+ \infty)</math>, <math>\{k:k>0\}</math> atau <math>\mathbb{R}^+</math>. Ia sebab apabila kita inputkan suatu [[nombor negatif]] ke dalam fungsi itu, ia menghasikan ''ralat bahagi <math>0</math>''. Maka, <math>A(n)</math> dimana <math>n \in \mathbb{R^-} </math> tidak ditakrif dan semua nombor dalam set <math>\mathbb{R}^-</math> tidak disertai ke dalam domainnya.</blockquote>

=== Kodomain dan Julat ===
Kodomain adalah set bagi semua nilai yang wujud manakala julat adalah set bagi semua output yang hanya boleh dikeluari oleh suatu fungsi. Ia biasanya ditulis dalam notasi set dan notasi interval. 
 
= Kelas Fungsi =
Fungsi mempunyai 3 kelas fungsi iaitu fungsi '''injektif''', '''surjektif''' dan '''bijektif'''.

=== Fungsi Injektif ===
{{See|Fungsi Injektif}}
'''Fungsi injektif''' (juga dipanggil sebagai ''injeksi'' atau ''satu-ke-satu'') merupakan suatu hubungan fungsi dimana semua inputnya dipetakan kepada suatu output tetapi kodomain masih ada nilai yang mustahil untuk dipetakan dari domain fungsi tersebut. 

Katakan suatu fungsi <math>B</math> dimana <math>B(x)=x^2</math> dan kodomainnya adalah semua nilai dalam <math>\mathbb{R}</math>. Fungsi <math>B</math> merupakan suatu fungsi injektif kerana terdapat unsur dalam kodomainnya yang tidak dapat dipetakan dari domain. Set bagi semua unsur yang boleh dipetakan dari domain fungsi ini adalah julatnya.

=== Fungsi Surjektif ===
'''Fungsi surjektif''' (juga dipanggil sebagai ''surjeksi'') merupakan suatu hubungan fungsi dimana setiap inputnya dipetakan kepada suatu output tetapi lebih dari satu input mungkin mempunyai suatu output-output yang sama.

Katakan suatu fungsi <math>f</math> dimana <math>f(x)=\lfloor x \rfloor</math>. Fungsi ini merupakan suatu fungsi surjektif kerana domain fungsi ini mempunyai unsur yang dipetakan kepada unsur julat yang sama. Sebagai contoh, jika kita menginputkan <math>2.3</math> dan <math>2.71</math> kedalam fungsi tersebut, ia akan dipetakan kepada <math>2</math>;    <math>f(2.3) = 2</math> dan <math>f(2.71) = 2</math>

=== Fungsi Bijektif ===
'''Fungsi bijektif''' (juga dipanggil sebagai ''bijeksi'') merupakan suatu gabungan definisi hubungan fungsi injektif dan surjektif dimana setiap input hanya mempuyai satu output sendirinya dan tidak mempunyai output yang berkongsian dengan input lain.

Sebagai contoh, katakan fungsi <math>j</math> dimana <math>j(x)=x+1</math>. Fungsi ini merupakan suatu fungsi bijektif kerana setiap unsur dalam domainnya dipetakan hanya kepada satu output di julat.<gallery widths="200">
Fail:Injective generic application.png|Hubungan Fungsi Injektif
Fail:Surjective generic application.png|Hubungan Fungsi Surjektif
Fail:Bijective generic application.png|Hubungan Fungsi Bijektif
</gallery>

== Jenis Fungsi ==
[[Fail:Linear Function Graph.svg|thumb|Graf fungsi linear <math>-x+5</math> dan <math>(-1/2)x+2</math>..]]

=== Fungsi Linear ===
'''Fungsi linear''' adalah fungsi yang ada 1 sebagai kuasa tertingginya. Ia berada dalam bentuk <math>f(x)=mx+b</math> di mana <math>m</math> adalah kecerunan garis dan <math>b</math> adalah pintasan-y. Graf bagi fungsi ini hanya adalah garis lurus.

Jika <math>b=0</math>, garis lurus akan bersilang melalui [[Asalan (matematik)|asalan]], iaitu titik [[Sistem koordinat|koordinat]] <math>(0,0)</math>.

==== Terbitan Fungsi Linear ====
<math>\frac{d}{dx} (ax + b ) = a </math>

==== Kamiran Fungsi Linear ====
Terbitan bagi fungsi linear akan menghasilkan fungsi kuadratik.

<math>\int (ax + b ) \, dx =  \frac{ax^2}{2} + bx + C  </math>   (<small><math>C </math></small> adalah pemalar kamiran)
=== Fungsi Kuadratik ===
{{See|Persamaan kuadratik}}
'''Fungsi kuadratik''' merupakan fungsi yang mempunyai 2 sebagai kuasa tertingginya. Fungsi ini berada dalam bentuk <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> di mana <math>a</math>,<math>b</math> dan <math>c</math> adalah [[Pemalar matematik|pemalar]] tetapi <math>a \neq 0</math>. Graf fungsi kuadratik berbentuk 'u', bentuk 'u' ini dikenali sebagai [[parabola]].[[Fail:Quadratic discriminants presentation.pdf|thumb|256x256px|Graf fungsi kuadratik <math>x^2-2x-1</math>.|kanan]]

==== Terbitan Fungsi Kuadratik ====
Terbitan bagi fungsi kuadratik akan menghasilkan fungsi linear.

<math>\frac{d}{dx} (ax^2 + bx + c ) = 2ax + b </math>

==== Kamiran Fungsi Kuadratik ====
Kamiran bagi fungsi kuadratik akan menghasilkan fungs kubik..

<math>\int (ax^2 + bx + c  ) \, dx =  \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx +C </math>

=== Fungsi Kubik ===
[[Fail:Cubic function.png|thumb|Contoh graf fungsi kubik]]
'''Fungsi kubik''' adalah fungsi-fungsi yang mempunyai 3 sebagai kuasa tertingginya. Bentuk fungsi ini adalah <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> di mana <math>a</math>, '''<math>b</math>, <math>c</math>''' dan <math>d</math> adalah pemalar tetapi <math>a \neq 0</math>.

==== Terbitan Fungsi Kubik ====
Terbitan bagi fungsi kubik akan menghasilkan fungsi kuadratik.

<math>\frac{d}{dx} (ax^3 + bx^2 + cx +d) = 3ax^2 + 2bx +c </math>

==== Kamiran Fungsi Kubik ====
Kamiran bagi fungsi kubik akan menghasilkan fungsi kuartik.

<math>\int (ax^3 + bx^2 + cx + d  ) \, dx =  \frac{ax^4}{4}+\frac{bx^3}{3}+\frac{cx^2}{2}+dx + C  </math>

.

=== Fungsi Polinomial Kuasa-n ===
'''Fungsi polinomial kuasa-n''' adalah fungsi ber[[polinomial]] yang berada dalam bentuk <math>f(x)=c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + c_{n-2} x^{n-2} + \cdots + c_0 x</math>, di mana <math>c_n</math> adalah pemalar atau [[pekali]] dan <math>n</math> adalah kuasa [[Integer|berinteger]] tertinggi polinomial yang bukan [[Nombor negatif|negatif]].

Semua fungsi polinomial selepas fungsi kubik dinamakan menggunakan kata awalan [[bahasa Latin]] dan [[Bahasa Yunani|Yunani]]. Ini adalah senarai namanya;

{| class="wikitable"
|+Jadual Fungsi Polinomial
!Kuasa Tertinggi
Fungsi Polinomial
!Nama Fungsi
!Bentuk Fungsi
|-
|<math>0</math>
|Fungsi pemalar
|<math>c_0</math>
|-
|<math>1</math>
|Fungsi linear
|<math>c_1 x +c_0</math>
|-
|<math>2</math>
|Fungsi kuadratik
|<math>c_2 x^2 +c_1 x + c_0</math>
|-
|<math>3</math>
|Fungsi kubik
|<math>c_3 x^3 +c_2 x^2 + c_1 x + c_0</math>
|-
|<math>4</math>
|Fungsi kuartik
|<math>c_{4} x^4 +c_{3} x^3 + c_2 x^2 + c_1 x + c_0</math>
|-
|<math>5</math>
|Fungsi kuintik
|<math>c_{5} x^5 +c_{4} x^4 + c_{3} x^3 + c_{2} x^2 + c_{1} x + c_0</math>
|-
|<math>6</math>
|Fungsi sekstik
|<math>c_{6} x^6 +c_{5} x^5 + c_{4} x^4 + c_{3} x^3 + c_{2} x^{2} + c_1 x + c_0</math>
|-
|<math>7</math>
|Fungsi heptik
|<math>c_{7} x^7 +c_{6} x^6 + c_{5} x^5 + c_{4} x^4 + c_{3} x^{3} + c_2 x^{2} + c_1 x + c_0</math>
|-
|<math>8</math>
|Fungsi oktik
|<math>c_{8} x^8 +c_{7} x^7 + c_{6} x^6 + c_{5} x^5 + c_{4} x^{4} + c_3 x^{3} + c_2 x^2 + c_1 x + c_0</math>
|}
Fungsi-fungsi ini mempunyai ciri-ciri yang serupa. Terbitan bagi suatu fungsi polinomial kuasa-<math>n</math> akan menghasilkan fungsi polinomial-(<small><math>n-1</math></small>)  manakala kamiran bagi suatu fungsi polinomial kuasa-<math>n</math> akan menghasilkan fungsi polinomial kuasa-(<small><math>n+1</math></small>). Sebagai contoh, fungsi kubik. Terbitannya adalah fungsi kuadratik dan kamirannya adalah ''fungsi kuartik'', iaitu fungsi yang mempunyai 4 sebagai kuasa tertingginya.<ref>{{Cite web|url=https://mathmonks.com/quartic-function|title=Quartic Function - Roots, Graph, Domain, Range, and Examples|website=Math Monks|language=en-US|access-date=2024-11-27}}</ref>

Juga, keadaan fungsi tersebut hanya benar jika <math>c_n \neq 0</math>.

=== Fungsi Trigonometrik Asas ===
{{See|Trigonometri}}
'''Fungsi trigonometrik asas''' merujuk kepada tiga fungsi asas yang berkaitkan sisi [[segi tiga sudut tegak]]. Fungsi-fungsi itu adalah sinus, kosinus dan [[tangen]]. [[Hipotenus]] adalah sisi terpanjang dalam segi tiga sudut tegak.

<math>\mathrm{sin} ( \theta ) = \frac{ \mathrm{sisi} \, \mathrm{bertentangan} }{ \mathrm{hipotenus } } </math>

<math>\mathrm{kos} ( \theta ) = \frac{ \mathrm{sisi} \, \mathrm{bersebelahan} }{ \mathrm{hipotenus } } </math>

<math>\mathrm{tan} ( \theta ) = \frac{ \mathrm{sisi} \, \mathrm{bertentangan} }{ \mathrm{sisi} \, \mathrm{ bersebelahan } } </math>
[[Fail:Sine cosine one period.svg|kanan|thumb|340x340px|Graf fungsi sinus dan kosinus dalam [[radian]].]]




.

.

.

= Rujukan =
<references />

== Pautan luar ==

* [http://mathworld.wolfram.com/Function.html Wolfram Mathworld]
{{authority control}}
[[Kategori:Teori set]]
__NOEDITSECTION__